Matematika fanidan

3. Xosmas integrallar
1. Chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar. funksiya ning ( ) qiymatlarida aniqlangan va uzluksiz bo’ladi. Ushbu

Integralni qaraymiz. Bu integral da ma’noga ega. o’zgarganda integral o’zgaradi, u ning uzluksiz funksiyasi bo’ladi. bo’lganda bu integralni o’rganamiz.

Ta’rif. Agar

chekili limit mavjud bo’lsa, u holda bu limit ning intervaldagi xomas integrali deyiladi va

bilan belgilanadi.
Shunday qilib, ta’rifga ko’ra

Shu holda xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar da chekli limitga ega bo’lmasa, u holda mavjud emas yoki uzoqlashadi deyiladi.
bo’lganda xosmas integralning geometrik ma’nosiga tushinish qiyin emas. Agar integral egri chiziq, absissalar o’qi, , to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzasini beradi, u holda xosmas integral , va absissalar o’qi orasida joylashgan chegaralanmagan yuzani ifodalaydi.

Boshqa cheksiz intervallar uchun ham xosmas integrallar shu tarzda aniqlanadi:


Oxirgi tenglikni quyifagicha tushinish mumkin: agar o’ng tomonda turgan xosmas integrallardan har biri mavjuda bo’lsa, u holda o’ng tomonda turgan integral ham mavjud (yaqinlashadi).
Misol. Integralni hisoblang .
Xosmas integralning ta’rifidan foydalanib, topamiz:

Bu integral cheksiz egri chiziqli trapetsiyani yuzasini beradi.
Misol 2. ning qanday qiymatlarida integral yaqinlashadi va uzoqlashadi.

Yechish. bo’lganda

bo’lgani uchun

Shunday qilib, da , ya’ni integral yaqinlashadi;
da , ya’ni uzoqlashadi;
da , ya’ni integral uzoqlashadi.
Misol 3. Hisoblang
Yechish.

Ikkinchi integral ga teng. Birinchi integralni hisoblaymiz:

Shunday qilib,

Ko’p hollarda berilgan integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini ko’rsatish, uning qiymatini baholash yetarli. Buning uchun quyidagi 2ta teorema foydali bo’lishi mumkin.
Teorema 1. Agar barcha uchun

tengsizlik bajarilsa va agar yaqinlashsa, u holda integral ham yaqinlashadi, bunda

bo’ladi.
Misol 4. Integralni yaqinlashishiga tekshiring.

Yechish. da

So’ngra

Shunday qilib,

yaqinladi va uning qiymati 1dan kichik.
Teorema 2. Agar barcha uchun

tengsizlik bajarilsa va agar uzoqlashadi, u holda integral ham uzoqlashadi.
Misol 5. Integralni yaqinlashini tekshiring

Ma’lumki,

Ammo

Demak, berilgan integral uzoqlashadi.