Matematika tarixi

2-§. Differentsial va integral hisobi 
Reja: 
1. Differentsial va integral hisobining dastlabki kurtaklari: B.Kavelьeri, 
P.Ferma, B.Paskalь, Dj. Vallis, I.Borrou. 
2. Nьyuton va Leybnitsning differentsial va integral hisobi. 
3. Nьyuton hayoti va ijodi, izdoshlari. 
4. Leybnits hayoti va ijodi, izdoshlari. 
Dastlab integratsion metodlar bilan tanishaylik. Bu sohadagi dastlabki ishlar 
1615 yili Keplerga taaluqli. Metodning mazmuni – aktual cheksiz kichik miqdorlar 
bilan bevosita amallar bajarishdan iborat. 
Butun umri davomida Kopernikning geliotsentrik sistemasini o’rganish, rivoj-
lantirish va targ’ib qilishga bag’ishlangan, 1609 – 19 yillar orasida planetalar haraka-
tiga oid bo’lgan:
1) planetalar ellips bo’ylab harakat qiladi;
2) quyosh ularning fokuslaridan birida joylashgan;
3) planetalarning radius-vektorlari bir xil vaqt oralig’ida teng sektorial yuzalar-
ni hosil qiladi; 
4) planetalarning quyosh atrofida aylnish vaqtining kvadrati ular orasidagi 
o’rtacha masofalarning kubiga nisbati kabidir.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

60 
6-rasm 
Bu masalalarni hal etish cheksiz kichik miqdorlardan foydalana bilishni taqozo 
etardi (sektorialь yuzalarni hisoblash, o’rtacha masofalar ... ). Bu metodni u 1615 
yilda e’lon qilgan “Vino bochkalarining stereometriyasi” asarida bayon etadi, ya’ni 
har qanday figura yoki jism cheksiz kichik bo’laklar yig’indisidan tashkil topgan. 
Masalan, doira cheksiz ko’p cheksiz kichik sektorlardan tashkil topgan bo’lib, bularni 
har birini teng yonli uchburchak sifatida qarash mumkin. Bunda hamma uchbur-
chaklar bir xil balandlikka (radius), ularning asoslarining yig’indisi aylana uzunligiga 
teng deydi. 
Bu metodni u uncha bo’lmagan geometrik figuralar va jismlarga tadbiq etadi, 
jami 92 ta. Arximeddan qabul qilingan bu usulni Kepler namunali misol-
larda ko’rsatishi, bu usulni kelajagi porloq ekanligini ko’rsatadi. Bu metodni ilmiylik 
darajasiga ko’tarish va doimiy algoritmni ishlab chiqish shu zamon 
olimlarini o’ziga jalb qildi. 
Bulardan etarlicha mashxur bo’lgani Kavalьeri printsipi deb nomlanuvchi 
bo’linmaslar geometriyasidir. Bonaventura Kavalьeri (1598-1674) o’.o’alileyning 
shogirdi, Bolonьya universitetining professori. Bu fikrni u 1621 yilda aytgan bo’lib, 
1629 yilda kafedra professorligiga o’tayotganda sistemali ravishda bayon etadi. Bu 
bo’linmaslar metodini takomillashtirish natijasida 1635 yilda “Uzluksizlarni 
bo’linmaslar yordamida yangi usulda bayon etilgan geometriya” kitobini va 1647 
yilda “Olti geometrik tajriba” nomli kitoblarini yozdi.
Endi metodning mohiyati bilan tanishaylik.
Dastlab bo’linmaslar metodi tekis figuralar va jismlarning o’lchamlarini aniq-
lash uchun kashf etilgan. Figuralar regula deb ataluvchi yo’naltiruvchi to’g’ri chiziq-
qa parallel o’tkazilgan to’g’ri chiziq kesmalaridan iborat deb qabul qilinadi. Bu ta-
savvur qilingan kesmalar cheksiz ko’p. Ular juftlar deb ataluvchi ikki urinma orasida 
joylashgan va bu urinmalar regulaga parallel olingan. Regula sifatida bu urinmalarn-
ing birini olish mumkin. 
o’eometrik jismlar ham shu ko’rinishda regula sifatida olingan biror tekislikka 
parallel o’tgan tekisliklar bo’linmaslar deb olinadi. Bular ham cheksiz ko’p bo’lib, 
regulaga parallel bo’lgan urinma tekisliklar orasida joylashgan. Odatda bularning 
biri regula sifatida olinadi. 
Endi metodning mazmuni bilan tanishaylik. 
Tekis figuralar va jismlarning bir-biriga nisbati ularning barcha 
bo’linmaslarining nisbati kabidir, agarda bo’linmaslar bir-biriga bir xil nisbatda 
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

61 
bo’lsa, u holda mos figuralarning yuzalarining (hajmlarining) nisbati o’sha nisbatga 
teng, ya’ni: 
const
a
k
y
k
y
,
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
k
y
k
y
S
S
2
1
a
a
2
b
a
1
1
k
2
1
k
1
2
1
ixtiyoriy k uchun. U holda S
1
:S
2
=k 
Bu teoremani Kavalьeri bo’linmaslarning darajalarini nisbatiga ham tadbiq 
etib, 
а
0
n
9
...,
,
2
,
1
n
,
dx
х
aniq integralni hisoblash masalalariga olib keldi.
o’.o’alileyning ikkinchi shogirdi E.Torrichelli (1608-1647) egri chiziqli 
bo’linmaslarni kiritdi. Metodning mohiyati va mazmuni Kavalьeriniki kabi. 
XVII asrning birinchi yarmiga kelib aniq integral geometrik figuralarni yuzasini 
va hajmini hisoblash uchun asosiy qurol bo’lib qoldi. Faqat nazariyadagi 
to’liqmasliklarni bartaraf etish qolgan edi.
Bu borada Paskalь, Ferma, Vallis va Borrou ishlari diqqatga sazovordir. Shular 
bilan qisqacha tanishib chiqaylik. 
Paskalь ishlari Kovalьeri printsipiga yaqin bo’lib, u barcha bo’linmaslarning 
yig’indisini elementar yuzachalarning yig’indisi ko’rinishida tushundi. Bu yuzachalar 
quyidagicha chegaralangan: abtsissa o’qi kesmasi va egri chiziq bilan hamda bir-
biriga cheksiz yaqin va bir xil masofada bo’lgan ordinatalar bilan chegaralangan, 
ya’ni 
ydx
. 
Ferma esa Paskalьdan ilgari ketdi. U bo’lishni ixtiyoriy qilib oldi. Natijada 
a
0
n
dx
x
da n-kasr va manfiy hol uchun hisoblash imkoni bo’ldi. 
Jumladan 
х
0
q
p
.
0
q
,
0
p
,
dx
х
Demak, qaralayotgan yuza [O, X] abstsissa, egri chiziqning ikki eng chekka 
ordinatasi va x
p
=u
q
egri chiziqlar bilan chegaralangan. Integrallash intervali koordi-
natalarida x, 
1
a
...
,
x
a
,
ax
2
bo’lgan kesmalarga bo’linadi. 
Keyingi operatsiya 
x, u, 
x
y
,
x
y
larni xisoblashga va keyin “polo-
sa”ning enini cheksiz kichraytirishga o’tish bilan geometrik progressiyaning 
yig’indisini xisoblashga keltiradi. 
x
y
y
x