Matematika tarixi

o’eometriyaning rivojlanishi 
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

74 
XVII asr davomida geometriyaning rivojlanishi XVIII asrga kelib uni sifat jihat-
dan rivojlanishining yangi bosqichiga olib chiqdi. o’eometriya tarkibida uning yangi 
sohalari: analitik geometriya, differentsial geometriya, chizma geometriya, proektiv 
geometriya, geometriya asoslari vujudga keldi. Bular uchun umumiy harakter Evklid 
geometriyasining doirasida va uning sistemasi asosida ravojlanishdir. 
a) Analitik geometriya. 
o’eometrik figuralar va almashtirishlar algebraik tenglamalar orqali beriluvchi 
fan bo’lib, algebraik metodlar va koordinatalar metodlaridan foydalaniladi. 
XVII asrning 30 yillarida e’lon qilingan Dekart va Fermaning asarlari hali etarli-
cha turtki bo’lib xizmat qila olmaydi. Ќali aytaylik Apolloniy darajasida edi (ko’pi bi-
lan ikkinchi tartibli egri chiziqlar qaralgan). 1704 yilda I.Nьyutonning “Uchinchi tar-
tibli egri chiziqlarni o’`rganish” asari bu sohani rivojlanishi uchun haqiqiy turtki 
bo’ldi. Sababi Nьyuton egri chiziqlarni Dekart kabi turlar bo’yicha emas, balki chi-
ziqlar tenglamalarining darajalari bo’yicha sinflarga ajratdi. Bu hol egri chiziqni 
to’g’ri chiziq bilan kesishish nuqtalariga geometrik talqin berishni qulaylashtirdi. U 
konus kesimlarga oid isbotlangan teoremalarni va tushunchalarni uchinchi tartibli 
egri chiziqlarga o’tkazadi. Natijada u 72 ko’rinishda egri chiziqlarni aniqlaydi va nom 
beradi. 
Agar 
A
d
cx
bx
ax
2
3
desak, u holda aytilgan tenglamalar quyidagi to’rt 
ko’rinishda bo’ladi: 
.
,
,
,
2
2
A
y
A
y
A
xy
A
ly
xy
Ammo bunday sinflarga ajratish sodda ham, universal ham bo’lmaydi, natija-
lar esa etarlicha to’liq va isbotlari berilmagan edi. 
Shunga qaramasdan Nьyutonning yutuqlari sezilarli edi. Jumladan: koordina-
talar metodini qo’llashi va uni rivojlantirishi (teng huquqli koordinata o’qlarini kiri-
tish), choraklarda o’rganish ularni ifodalovchi tenglamalarning xossalarini 
o’rganishga almashtirdi. 
Shundan so’ng analitik geometriya jadal rivojlandi. 
1717 – Stirling “Uchinchi tartibli Nьyuton egri chiziqlari” asarida Nьyuton teo-
remalarini isbotladi va bir qanchasini umumlashtirdi. 
Keyingi ishlardan Makloren (1720), Nikolь (1731), Klero (1731), Mopertyui 
(1731), Brekenridj (1733), Shteyner, Salьmon, Silьvestr, Shalь va boshqalarni ishlarini 
aytish mumkin. 
Ayniqsa Klero ishlaridan so’ng analitik geometriyani hozirgi zamon 
ko’rinishiga keltirish uchun qulay zamin yaratiladi. Bu ishni 1748 yili Eyler bajardi. 
Uning “Analizga kirish” asarining 2 tomi shu muammoga bag’ishlangan (muvaffa-
qiyatli hal qildi). Bundan keyingi rivojida o’.Monj (1771), Lagranj (1773), Menьe 
(1785), Lakrua (1798), Mebius (1827) va boshqalar hissa qo’shdilar. XIX asr oxirida 
vektor kiradi. 
Shunday qilib XVIII asr analitik geometriyaning fan sifatida shakllanishining 
va o’quv predmeti ko’rinishiga kelishi bilan yakunlanadi. 
b) Differentsial geometriya. 
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

75 
А
1
С
1
В
1
А С В 
Bu fan analitik geometriya natijalaridan foydalanib, matematik analiz metod-
larini keng qo’llash natijasida (differentsial hisobi) geometrik ob’ektlar bo’lmish – 
egri chiziqlar va sirtlarni o’rganadi. 
1731 yili Klero “Ikki yoqlama egrilikdagi egri chiziqlarni tekshirish” kitobidan 
so’ng bu soha jadal rivojlana boshladi. 
1760 yili Eyler maqolasi “Sirtlarning egriligini tekshirishlar haqida ” 1767 e’lon 
qilingandan so’ng Monj, Lagranj, Lambert, Menьe, Karno, Furьe, Amper, Puasson, 
Dyuper, Sen-Venan, Frene, Sere, o’auss, Minding, Liuvillь va boshqalarning ishlari 
bilan qozirgi zamon ko’`rinishiga keladi. 
v) o’eometriya asoslari. 
Boshlang’ich tushunchalarning tanlanishi, aksiomalar sistemasining tahlili va 
ularning olinishini asoslash, tekshirish geometriya asoslarining ishidir. 
XVIII asr geometriya asoslari bu asosan Evklid geometriyasining aoslaridir. Il-
miy tekshirishlarning asosi “Boshlang’ichlar” asarining tanqidiy tahlilidir. Ayniqsa 
parallellarga oid 5-postulat qattiq tanqidga uchradi. 
Bu postulatni teorema sifatida isbotlashga urinishlar noevklid geometriyan-
ing teoremalariga olib kela boshladi. 
Jumladan italiyalik rohib I.Sakkeri 
parallellar muammosini quyidagicha qaradi: 
AV kesma uchlaridan AA
1
va VV
1
perpendi-
kulyarlar chiqaramiz, 
AA
1
=VV
1
,
2
В
А
A
1
va V
1
nuqtalarni 
hamda to’rtburchak asoslarining o’rtalari S 
va S
1
nuqtalarni to’g’ri chiziqlar bilan tutash-
tiramiz va SS
1
bo’yicha bukamiz: 
1
1
1
1
1
1
B
A
В
А
СС
АВ
СС
8-rasm 
Endi faraz qilaylik bu teng burchaklar quyidagicha bo’lsin: 
1) o’tmas bo’lsin – bu tezda qarama-qarshilikka olib keldi; 
2) to’g’ri bo’lsin – Evklid aksiomasi bo’ladi; 
3) o’`tkir bo’lsin – bunga Sakkeri fikricha qarama-qarshilik bo’lib, parallellik 
aksiomasi isbot bo’lar edi. Lekin mantiqiy davom ettirish qiziq natijalariga olib bor-
moqda, qarama-qarshilik esa yo’q edi. 
Bunga o’xshash urinishlar juda ko’p bo’lgan. 1763 yili Klyugelь bunday urinish-
larni jamlab tahlil qiladi va Evklid bu aksiomani juda to’g’ri joyiga qo’ygan deb xulo-
sa qiladi. 
Bu sohadagi so’nggi ishlardan biri 1776 yili Lambert e’lon qilgan maqoladir: 
“Parallel chiziqlar nazariyasi”. U Sakkeri - Klyugelь ishlaridan foydalanib, 
to’rtburchakni modifikatsiya qiladi, ya’ni
1
1
1
1
1
,
,
АА
В
А
АВ
ВВ
АВ
АА
va masalani V
1
burchakning kattaligini aniqlashga olib 
boradi. 
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

76 
U ham to’g’ri burchakda – Evklid geometriyasiga, o’tmas burchakda – qarama 
qarshilikka uchraydi. 
Bu kabi ko’plab ishlar natijasida “Boshlang’ichlar” o’quv darsligi sifatida ya-
roqliligi shubha ostiga olindi. Natijada Angliyada, o’ermaniyada engillashtirilgan 
bayoni berildi. Frantsiyada esa Dalamber, Bezu, Lejandr, Lakrualar tomonidan 
boshlang’ich va o’rta maktablar uchun maxsus darsliklar yozdilar. Bu darsliklar u yo-
ki bu darajada Evklid sxemasidan tashqariga chiqdilar. Aynan shu darsliklar bizning 
hozirgi tipdagi geometriya darsliklarimizning namunalaridir:
1) o’lchov va harakat kiritildi (Evklidda yo’q); 
2) arifmetika metodlari kiritildi, nisbat va proportsiyalarga 
arifmetik mazmun kiritildi natijada 5-kitobga zarurat qolmadi; 
3) 
algebraik belgilar va algebra elementlarining kiritilishi natijasida 2-
kitobga zarurat qolmadi; 
4) radikallarni qo’llanilishi natijasida 10-kitobga zarurat qolmadi. 
Natijada Evklidning "Boshlang’ich"lari keng o’quvchilar ommasi uchun tushu-
narli va amaliy ehtiyojlar uchun qulay bo’lgan elementar geometriya kursiga aylan-
di. 
Tekshirish savollari: 
1. XVIII asr matematikasini rivojlanishida FA va davriy nashrlarning roli qan-
day?. 
2. Rossiyada matematikani rivojlanishida Eylerning roli qanday?. 
3. Matematikani boshqa sohalarini vujudga kelishida kimlar boshlovchilik qi-
lishgan? 
4. Funktsiya tushunchasi qanday shakllangan va rivojlangan? 
5. XVIII asr matematikasining asosiy xarakterli yo’nalishlari qanday?