Matematika va informatika fakulteti

II BOB

2.1 Vektorlarning skalyar ko’paytmasi

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi va uning xossalari. Biz vektorlarni songa ko‘paytirish, qo‘shish va ayirish amallarini ko‘rib o‘tdik. Endi vektorlarni o‘zaro ko‘paytirish masalasiga o‘tamiz. Buning uchun dastlab fizikadan kuch bajargan ishni hisoblash formulasini eslaymiz. Biror moddiy nuqtaga f kuch vektori ta’sir etib, uni s vektor bo‘yicha harakatlantirgan bo‘lsin. Bunda kuch va harakat vektorlari orasidagi burchak φ bo‘lsa, unda moddiy nuqtani ko‘chirishda bajarilgan ish A=|f|·|s|·cosφ formula bilan hisoblanadi. Bu formulada |f| – kuch kattaligini,
|s| – bosib o‘tilgan masofani ifodalaydi.


3.1-Ta’rif: Ikkita a vаb vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi dеb ularning modullari bilan ular orasidagi burchak kosinusining ko‘paytmalariga aytiladi.

a vаb vektorlarning skalyar ko‘paytmasi a·b, ab yoki (a,b) ta’rifga asosan,
a·b = |a|·|b|сos
kabi bеlgilanadi va ,

(1)

formula bilan aniqlanadi. Bu yerda  orqali (0≤≤π) a va b vеktorlar orasidagi

burchakbеlgilangan bo‘lib, u a vektordanb vektorgacha engqisqa burilish burchagi kabi aniqlanadi. Ikki vektorni (1) ko‘rinishda ko‘paytirish natijasida son, ya’ni skalyar kattalik hosil bo‘ladi va shu sababli a·b vеktorlarning skalyar ko‘paytmasi dеb ataladi.
Skalyar ko‘paytma ta’rifi bo‘yicha yuqorida ko‘rib o‘tilgan ish formulasini A=f·s deb yozish mumkin. Demak, kuch va harakat lektorlarining skalyar ko‘paytmasibajarilganishniifodalaydiva buskalyar ko‘paytmani mexanikma’nosi bo‘ladi.
Skalyar ko‘paytmaning ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi: 1.a·b = b·a, ya’ni skalyar ko‘paytma uchun kommutativlik qonuni bajariladi. Haqiqatan ham, skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formulaga asosan
a·b =|a|·|b|сos=|b|·|a|сos=b·a.

2. a·a = |a|² , ya’ni vektorni o‘ziga - o‘zining skalyar ko‘paytmasi (bu ba’zan 19

vektorning skalyar kvadrati deyiladi va a² kabi belgilanadi) uning moduli kvadratiga

teng. Bu xossa ham skalyar ko‘paytma ta’rifini ifodalovchi (1) formuladan bevosita kelib chiqadi:

a·a = |a|·|a|сos0=|a|² . 3. Ixtiyoriy λ soni uchun (λa,b)=(a, λb)= λ(a,b).
Dastlab (λa,b)=(a, λb) tenglikni o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. (1) formulaga asosan (λa,b)= |λa||b|cosφ = |λ|·|a|·|b|cosφ = |a|·|λ|·|b|cosφ = |a||λb|cosφ= (a, λb).
Endi (λa,b)= λ(a,b) tenglikni to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Agar λ≥0 bo‘lsa (λa,b)= |λ|·|a|·|b|cosφ =λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b).
Agar λ<0 bo‘lsa, λavektor a vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan va shu sababli λabilan b vektor orasidagi burchak π–φ bo‘ladi. Bu holda cos(π–φ)= – cosφ va
λ = –|λ| bo‘lgani uchun

(λa,b)= |λ|·|a|·|b|cos(π–φ) =–|λ|·|a|·|b|cosφ= λ·|a|·|b|cosφ= λ (a, b). Jumladan λ=0 holda har qanday a vektor uchun a·0=0·a=0 natijani olamiz. 4.a(b+c)=ab+ac , ya’ni vektorlarning skalyar ko‘paytmasi uchun distributivlik qonuni bajariladi.

Bu xossani isbotsiz qabul etamiz.