Matematika” yo’nalishi 20. 04-guruh talabasi Mo’ydinov Sarvarning

Kurs ishining predmeti: Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar qay darajada kengligi.
Kurs ishining vazifalari:

1. 
   Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
   
2. 
   Oddiy differensial tenglamalar “Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar” mavzusini chuqur o’rganish;
   
3. 
   Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar;
   
4. 
   Kurs ishini jihozlab uni himoyaga tayyor qilish.
   

ASOSIY QISM
1. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga kirish
Tabiatda uchraydigan miqdorlarning ko’pchiligi o’zining qonuniga ega. Bu qonunlarni to’g’ridan-to’g’ri topish ancha murakkab masala. Qaralayotgan miqdor, uning o’zgarish tezligi va tezlanish orasidagi bog’lanishni topish ancha yengil. Bu bog’lanishning matematik ifodasi sifatida oddiy differensial tenglamalar hosil bo’ladi. Jumladan, matematik mayatnikning erkin tebranishi tenglamasi:
.
Bu yerda muvozanat holatdan chetlashish burchagi bo’lib, mayatnikning uzunligiga bog’liq bo’lgan o’zgarmas sondir.
1-ta’rif.
Erkli o’zgaruvchi , noma’lum funksiyasi va uning
hosilalari orasidagi ushbu
(1)
funksional bog’lanishga tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
2-ta’rif.
Tartibi bo’lgan (1) tenglamani intervalda ayniyatga aylantiruvchi funksiyaga, uning yechimi deyiladi.
Yechimning grafigiga esa (1) oddiy differensial tenglamaning integral chizig’i deyiladi.
Oshkormas funksiya ko’rinishidagi yechimga (1) tenglamaning integrali deyiladi. Tarkibidagi parametrlarga aniq qiymat berish hisobiga ixtiyoriy yechimni hosil qilish mumkin bo’lsa, bu yechimga (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi va ko’rinishda belgilanadi. Oshkormas ko’rinishdagi umumiy yechimga (1) differensial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
Oddiy differensial tenglamalar odatda har xil ko’rinishda bo’lishi mumkin, jumladan

yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan, ikkinchisi

yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamalar.
Yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(2)
Kelgusida biz bu turdagi oddiy differensial tenglamaning ushbu
(3)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi Koshi masalasining yechimi mavjudligi va yagonaligi haqidagi tasdiqlar bilan tanishamiz.
Xususan hosilaga nisbatan yechilmagan 1-tartibli differensial tenglama
(4)
ko’rinishda bo’ladi. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama
(5)
ko’rinishda bo’ladi.
3-ta’rif.
Hosilaga nisbatan yechilgan (5) differensial tenglamaning
(6)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi. Bu yerda va oldindan berilgan haqiqiy sonlardir.
Geometrik tilda: tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chizig’ini topish masalasiga Koshi masalasi deyiladi.
Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalaridan biri, bu Koshi masalasi bo’lib, uning yechimi mavjudmi? Agar bunday yechim mavjud bo’lsa, u yagonami? Agar yechim mavjud va yagona bo’lsa, bu yechimni topish algoritmi qanday bo’ladi?, degan savollarga javob berishdan iborat. Bu savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi. Keyinchalik, funksiyaga ayrim shartlar qo’yish natijasida (5), (6) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagonaligini ko’rsatamiz.
Hozirgi kunda fan-texnika rivojlanib borgan sari matematikani roli ortib bormoqda. Shu jumladan matematikadan fizika, mexanika va astronomiya hamda iqtisodiy masalalarni yechishda, biologik jarayonlarni taxlil etishda va boshqa ko’p sohalarda foydalaniladi. Bu sohalardagi jarayonlarni matematik modeli differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi.
Noma’lum funksiyaning hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, u holda tenglama oddiy differensial tenglama deb, agar noma’lum funksiya ko’p o’zgaruvchili bo’lsa, u holda tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb aytiladi.
1-misol
Faraz qilaylik moddiy nuqtaOX o’qi bo’ylab xarakat qilsin. Xarakat funksiyasi f(t) bo’lsin. Bundan tashqari biror t=t₀ momentda uning abstsissasi x₀ qiymatni qabul qilsin. Shu moddiy nuqtani xarakat qonunini toping.
Bu masalaning matematik modeli

ko’rinish bilan ifodalanadi.
2-misol
Radiaktiv modda hisoblangan radiyni parchalanish tezligi uning miqdoriga to’g’ri proportsiolnal. Faraz qilaylik, t momentda R₀ g radiy bor bo’lsin. Ixtiyoriy t momentda R g radiy miqdorini aniqlang.
Agar proportsionallik koeffitsienti c (c>0) ga teng bo’lsa, u holda masala ushbu differensial tenglamani yechishga keltiriladi.

Bu tenglamani t=t₀ da R=R₀ ga teng bo’ladigan yechimi
R=R₀e^-c(t-t₀⁾
funksiya bilan ifodalanadi. Yuqoridagi masalalardan ko’rinadiki
bitta differensial tenglamani bir necha funksiyalar qanoatlantirishi mumkin, shuning uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy maqsadi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va ularning xususiyatlarini o’rganishdan iborat.
Differensial tenglamalarni tartibi tenglamada qatnashgan eng yuqori tartibli hosila tartibi bilan aniqlanadi.
4-ta’rif.
Erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya hamda uning hosilalari yoki
differensiallari orasidagi munosabatga differensial tenglama deyiladi.
Noma’lum funksiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi.
Noma’lum funksiya ikki yoki undan ko’p o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamalarga, xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
5-ta’rif.
Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalarga misol bo’ladi.
Umumiy holda -tartibli differensial tenglama

ko’rinishda belgilanadi.
6-ta’rif.
Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiallanuvchi funksiyaga aytiladi.
Differensial tenglama yechimining grafigiga integral chiziq deyiladi. Masalan, bu berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lib, bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo’ladi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning hossalarini o’rganishdan iborat.
Algebraik tenglamalardagidek hamma differensial tenglamalarni yechish mumkin bo’ladigan umumiy usullar yo’q. Differensial tenglamalarning har bir turiga xos yechish usulidan foydalaniladi.