Matematika” yo’nalishi 20. 04-guruh talabasi Mo’ydinov Sarvarning

3 Birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama
Ushbu tenglama
(11)
birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.
(11) tenglama bilan birga ushbu
(12)
simmetrik ko’rinishdagi oddiy differensial teglamlar sistemasini qaraymiz.
1-teorema. Agar ifoda (12) sistemaning birinchi integrali bo’lsa, u holda funsiya (1) tenglamaning yechimidan iborat.
Isbot. (12) tengliklarni biror 𝐴 parametrga tenglab olaylik, ya’ni

Bundan (12) sistemaga teng kuchli quyidagi sistemga ega bo’lamiz
ifodaning to’liq diffrensilini hsoblaymiz:
(13)
𝜓 funksiya (12) sistemaning birinchi integrali ekanligidan, funksiya differensialiga (13) sistemadan larning ifodasini qo’ysak ayniyat hosil bo’ladi, ya’ni

Bundan

ayniyatga ega bo’lamiz. Bu ayniyat funksiya (11) tenglamani yechimi ekanligini ko’rsatadi. Teorema isbotlandi.
2-teorema. Agar funksiya (11) tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda ifoda (12) sistemaning birinchi integralidan iborat bo’ladi.
Isbot. Agar funksiyani (12) sistema yechimlari ustida o’zgarmasga aylanishini ko’rsatsak teorema isbotlanadi. Buning uchun funksiyaning to’liq differensiali (12) sistema yechimlari ustida aynan nolga aylanishini ko’rsatish yetarli. funksiyani to’liq differensiallaymiz va (12) ga teng kuchli (13) sistema yechimlari ustida hisoblaymiz:

Teorema isbotlandi.
3-teorema. ifodalar (12) sistemaning
birinchi integrallari bo’lsa, u holda
(14)
funksiya (11) tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda Ф barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriyfunksiya.
Isbot. (14) funksiyani (11) tenglamaga qo’yamiz:

Teorema isbotlandi.
11-ta’rif. Agar ifodalar (2) sistemaning
erkli birinchi integrallari bo’lsa, u holda
(15)
funksiya (11) tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi, bu yerda barcha
argumentlari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriyfunksiya.
5-misol tenglamaning umumiy yechimini toping
.
Yechish. Bu tenglamaga mos simmetrik formadagi sistemani yozamiz .
.
Sistemaning tenglamasidan yoki birinchi integralini topamiz. tenglamadan esa birinchi integralni topamiz. Topilgan birinchi integrallarni erkliligini tekshiramiz
.
Bu matritsa ustunlaridan tuzilgan hech bir determinant nolga teng emas. Demak va birinchi integrallar erkli. 3-teoremaga ko’ra, berilgan
tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan ifodalanadi.
(11) tenglama uchun Koshi masalasi. Tenglamaning barcha yechimlari orasidan

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni toping, bu yerda berilgan funksiya.
Koshi masalasini umuman olganda shunday tushunish kerak: (11) tenglamaning barcha yechimlari orasidan argumentlardan birining fiksirlangan qiymatida qolgan argumentlarning berilgan funksiyasiga teng bo’ladigan yechimni toping. Xususan, yuqorida qo’yilgan Koshi masalasida argumentning fiksirlangan qiymatida argumentlarning berilgan funksiyasiga teng bo’lgan yechimni topish talab qilingan.
Koshi masalasini yechimini umumiy yechim formulasidan xosil qilish jarayonini ko’rib chiqamiz. (11) tenglamaning (15) umumiy yechimi formulasida funksiyani shunday aniqlashimiz kerakki u
(16)
tenglikni qanoatlantirsin.
Belgilashlar kiritaylik:

Bu sistemani larga nisbatan yechish mumkin bo’lsin:

Agar funksiyani

ko’rinishida tanlasak (16) shart bajariladi. Haqiqatdan ham


tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topaylik. Berilgan tenglamaga mos simmetrik sistemani yozamiz: . Bu sistemaning birinchi integralini topamiz.
Demak berilgan sistemaning umumiy yechimi: . tenglamani nisbatan yechib tenglikni olamiz. Demak Koshi masalasining yechimi yoki funksiyadan iborat.
5-misol. tenglamaning 𝑢(𝑥,𝑦,𝑧) yechimlari orasidan
𝑢(𝑥, 0, 𝑧) = sin(𝑥+𝑧) boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topaylik. Berilgan tenglamaga mos simmetrik sistemani yozaylik:

tenglamadan

Birinchi integralni topamiz. tenglamadan esa 𝑧² − 𝑦² = 𝜓₂(𝑥, 𝑦, 𝑧) birinchi integralni topamiz. Topilgan birinchi integrallar erkli. Demak berilgan tenglamaning umumiy yechimi

formula bilan aniqlanadi.

sistemani 𝑥, 𝑧 larga nisbtan yechamiz: . Demak izlanayotgan yechim yoki funksiyadan iborat.
XULOSA
Bizga ma’lumki chiziqli differensial tenglamalar oddiy differensial tenglamalar fanining muhim rivojlanayotgan tarmoqlaridan biri bo’lib hisoblanadi. Ayniqsa, birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’limi salohiyati va amaliy qo’llana bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Chiziqli differensial tenglamalarni va uning xossalarini o’rganish – oddiy differensial tenglamalar fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.