Matеmatikadan

Holati: y = x 3 + 4 x 2 funksiya berilgan. Uning segmentlardagi eng katta va eng kichik qiymatini aniqlang [1; 4] va [- 4; - 1].
Yechim:
Keling, ushbu funktsiyaning domenini topishdan boshlaylik. Bunday holda, u 0 dan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi. Boshqacha aytganda, D (y): x ∈ (- ∞; 0) ∪ 0; + ∞. Shartda ko'rsatilgan ikkala segment ham aniqlash maydoni ichida bo'ladi.
Endi kasrni differensiallash qoidasiga asosan funksiya hosilasini hisoblaymiz:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 "x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x 3
Funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida mavjud bo'lishini bilib oldik [1; 4] va [- 4; - 1].
Endi biz funktsiyaning statsionar nuqtalarini aniqlashimiz kerak. Buni x 3 - 8 x 3 = 0 tenglamasi yordamida qilamiz. Uning faqat bitta haqiqiy ildizi bor, ya'ni 2. U funksiyaning statsionar nuqtasi bo'ladi va birinchi segmentga tushadi [1; 4].
Biz funktsiyaning qiymatlarini birinchi segmentning oxirida va berilgan nuqtada hisoblaymiz, ya'ni. x = 1, x = 2 va x = 4 uchun:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Biz m a x y x ∈ funktsiyaning eng katta qiymatini oldik [1; 4] = y (2) = 3 ga x = 1 da erishiladi va eng kichik m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3 - x = 2 uchun.
Ikkinchi segment hech qanday statsionar nuqtalarni o'z ichiga olmaydi, shuning uchun biz funktsiyaning qiymatlarini faqat berilgan segmentning oxirida hisoblashimiz kerak:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Demak, m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.
Javob: Segment uchun [1; 4] - m a x y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, segment uchun [- 4; - 1] - m a x y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1] = y (- 4) = - 3 3 4.
Rasmga qarang:


Tadqiqotdan oldin Bu yerga, biz sizga bir tomonlama chegarani va cheksizlikda chegarani qanday qilib to'g'ri hisoblashni takrorlashni maslahat beramiz, shuningdek ularni topishning asosiy usullarini o'rganamiz. Ochiq yoki cheksiz oraliqda funksiyaning eng katta va/yoki eng kichik qiymatini topish uchun quyidagi amallarni ketma-ket bajaring.

1. 
   Birinchidan, belgilangan oraliq ushbu funktsiya doirasining kichik to'plami bo'ladimi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak.
   
2. 
   Kerakli intervalda joylashgan va birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan barcha nuqtalarni aniqlaymiz. Ular odatda argument modul belgisiga kiritilgan funksiyalarda va kasrli ratsional darajali darajali funksiyalarda topiladi. Agar bu nuqtalar bo'lmasa, keyingi bosqichga o'tishingiz mumkin.
   
3. 
   Endi qaysi statsionar nuqtalar berilgan intervalga tushishini aniqlaymiz. Birinchidan, hosilani 0 ga tenglashtiramiz, tenglamani yechamiz va mos ildizlarni topamiz. Agar bizda bitta statsionar nuqta bo'lmasa yoki ular belgilangan intervalgacha tushmasa, biz darhol o'tamiz keyingi harakat... Ular interval turiga qarab belgilanadi.
   

• 
  Agar interval [a; b), u holda funksiyaning x = a nuqtadagi qiymatini va bir tomonlama chegara lim x → b - 0 f (x) ni hisoblashimiz kerak.
  
• 
  Agar interval (a; b] ko'rinishga ega bo'lsa, u holda funksiyaning x = b nuqtadagi qiymatini va lim x → a + 0 f (x) bir tomonlama chegarasini hisoblashimiz kerak.
  
• 
  Agar interval (a; b) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) bir tomonlama chegaralarni hisoblashimiz kerak.
  
• 
  Agar interval [a; + ∞), keyin x = a nuqtadagi qiymatni va plyus cheksizlik lim x → + ∞ f (x)dagi chegarani hisoblash kerak.
  
• 
  Agar interval (- ∞; b] kabi ko'rinsa, x = b nuqtadagi qiymatni va minus cheksizlikdagi chegarani lim x → - ∞ f (x) hisoblang.
  
• 
  Agar - ∞; b, u holda biz bir tomonlama chegara lim x → b - 0 f (x) va minus cheksizlikdagi chegarani lim x → - ∞ f (x) deb qabul qilamiz.
  
• 
  Agar - ∞; + ∞, keyin minus va plyus cheksizlikdagi chegaralarni ko'rib chiqamiz lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x).
  

1. 
   Oxir-oqibat, siz olingan funktsiya qiymatlari va chegaralari asosida xulosa chiqarishingiz kerak. Bu erda juda ko'p imkoniyatlar mavjud. Demak, agar bir tomonlama chegara minus cheksizlik yoki ortiqcha cheksizlikka teng bo‘lsa, u holda funksiyaning eng kichik va eng katta qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emasligi darhol ma’lum bo‘ladi. Quyida bittasini tahlil qilamiz tipik misol. Batafsil tavsiflar nima ekanligini tushunishga yordam beradi. Agar kerak bo'lsa, materialning birinchi qismidagi 4 - 8-rasmlarga qaytishingiz mumkin.
   

2-misol
Shart: y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 funksiya berilgan. Uning eng yuqori va eng past qiymatlarini intervallarda hisoblang - ∞; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞, [4; + ∞).