Matеmatikadan

Yechim
Birinchi qadam funksiya sohasini topishdir. Kasrning maxraji yo'qolib ketmasligi kerak bo'lgan kvadrat trinomialni o'z ichiga oladi:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y): x ∈ (- ∞; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2; + ∞)
Biz shartda ko'rsatilgan barcha intervallar tegishli bo'lgan funktsiya sohasini oldik.
Endi funksiyani farqlaymiz va olamiz:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 "= 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6" = = 3 · E 1 x 2 + x - 6 · 1 "· x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Demak, funktsiyaning hosilalari uning ta'rifining butun sohasi bo'ylab mavjud.
Keling, statsionar nuqtalarni topishga o'tamiz. Funktsiyaning hosilasi x = - 1 2 da yo'qoladi. Bu (- 3; 1] va (- 3; 2) oraliqlarda joylashgan statsionar nuqta.
Funktsiyaning qiymatini x = - 4 oralig'ida (- ∞; - 4] oraliqda, shuningdek minus cheksizlikdagi chegarani hisoblaymiz:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
3 e 1 6 - 4> - 1 bo'lgani uchun demak, maxyx ∈ (- ∞; - 4] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu bizga eng kichik qiymatini bir ma'noda aniqlashga imkon bermaydi. Biz faqat pastki qismida - 1 chegarasi bor, degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki funktsiya aynan shu qiymatga minus cheksizlikda asimptotik tarzda yaqinlashadi.
Ikkinchi intervalning o'ziga xos xususiyati shundaki, unda bitta statsionar nuqta va bitta qat'iy chegara mavjud emas. Shuning uchun biz funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini hisoblay olmaymiz. Chegarani minus cheksizlikda aniqlab, argument chap tomonda - 3 ga moyil bo'lsa, biz faqat qiymatlar oralig'ini olamiz:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Bu funktsiya qiymatlari oraliqda joylashishini anglatadi - 1; + ∞
Funksiyaning uchinchi oraliqdagi eng katta qiymatini topish uchun uning x = - 1 2 statsionar nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz, agar x = 1 bo'lsa. Shuningdek, argument o'ng tomonda - 3 ga moyil bo'lgan holat uchun bir tomonlama chegarani bilishimiz kerak:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1. 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Biz funktsiya statsionar nuqtada eng katta qiymatni olishini aniqladik maxyx ∈ (3; 1] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Eng kichik qiymatga kelsak, uni aniqlay olmaymiz. , pastdan - 4 gacha cheklov mavjudligi.
(- 3; 2) oraliq uchun biz oldingi hisob-kitob natijalarini olamiz va chap tomonda 2 ga moyil bo'lganda bir tomonlama chegara nimaga teng ekanligini yana bir bor hisoblaymiz:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Demak, m a x y x ∈ (- 3; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 va eng kichik qiymatni aniqlab bo'lmaydi va funktsiyaning qiymatlari pastdan - 4 raqami bilan chegaralanadi.
Oldingi ikkita hisob-kitobda olgan narsamizga asoslanib, biz [1; 2) funksiya x = 1 da eng katta qiymatni oladi va eng kichigini topish mumkin emas.
(2; + ∞) oraliqda funktsiya na eng katta, na eng kichik qiymatga erishadi, ya'ni. u oraliqdan qiymatlarni oladi - 1; + ∞.
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
X = 4 uchun funktsiyaning qiymati qanday bo'lishini hisoblab, m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 va ortiqcha cheksizlikda berilgan funksiya asimptotik tarzda y = - 1 chiziqqa yaqinlashadi.
Keling, har bir hisob-kitobda olganimizni berilgan funktsiyaning grafigi bilan taqqoslaylik. Rasmda asimptotlar nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan.

Biz sizga eng katta va eng kichik funktsiya qiymatini topish haqida aytmoqchi bo'lgan narsa shu. Biz bergan harakatlar ketma-ketligi kerakli hisob-kitoblarni imkon qadar tez va oson bajarishga yordam beradi. Ammo esda tutingki, birinchi navbatda funktsiya qaysi oraliqlarda kamayishi va qaysi intervallarda ko'payishini aniqlash foydali bo'ladi, shundan so'ng siz qo'shimcha xulosalar chiqarishingiz mumkin. Shu tarzda siz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini aniqroq aniqlashingiz va olingan natijalarni asoslashingiz mumkin.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing
Ba'zida B15 muammolari "yomon" funktsiyalarga duch keladi, ular uchun lotin topish qiyin. Ilgari bu faqat zondlarda edi, ammo hozir bu vazifalar shunchalik keng tarqalganki, ularni haqiqiy imtihonga tayyorgarlik ko'rishda e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi.
Bunday holda, boshqa fokuslar ishlaydi, ulardan biri - monoton.
Agar ushbu segmentning x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagilar to'g'ri bo'lsa, f (x) funksiya segmentda monoton ortib boruvchi deyiladi:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Agar f (x) funksiya segmentdagi monoton kamayuvchi deyiladi, agar ushbu segmentning istalgan x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagilar to'g'ri bo'lsa:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1)> f ( x 2).
Boshqacha qilib aytganda, ortib borayotgan funksiya uchun x qanchalik katta bo'lsa, f (x) shunchalik katta bo'ladi. Kamayuvchi funktsiya uchun buning aksi to'g'ri bo'ladi: x qanchalik katta bo'lsa, bu kichikroq f (x).
Masalan, agar asos a> 1 bo'lsa, logarifm monoton ravishda ortadi va 0 bo'lsa, monoton ravishda kamayadi.< a < 1. Не забывайте про область qabul qilinadigan qiymatlar logarifm: x> 0.
f (x) = log a x (a> 0; a ≠ 1; x> 0)
Arifmetik kvadrat (nafaqat kvadrat) ildiz butun ta'rif sohasi bo'ylab monoton ravishda ortadi:
Eksponensial funktsiya logarifmga o'xshash ishlaydi: u a> 1 uchun o'sadi va 0 uchun kamayadi.< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponensial funktsiya faqat x> 0 emas, balki barcha raqamlar uchun aniqlanadi:
f (x) = a x (a> 0)
Nihoyat, salbiy ko'rsatkichli darajalar. Siz ularni kasr sifatida yozishingiz mumkin. Monotonlik buziladigan uzilish nuqtasiga ega bo'ling.
Bu funktsiyalarning barchasi hech qachon sof shaklda topilmaydi. Ular polinomlar, kasrlar va boshqa bema'niliklarni qo'shadilar, shuning uchun hosilani hisoblash qiyin bo'ladi. Bu holatda nima sodir bo'ladi - endi biz tahlil qilamiz.