Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema. Reja

Matrisa rangi. Matrisa rangi haqidagi asosiy teorema.

Reja:

1. 
   Matritsa rangi.
   
2. 
   Matritsa rangi haqidagi asosiy teorema.
   

 

Tayanch iboralr: Matritsa, matritsa rangi, minor, algebraik to`ldiruvchi.

Mashg`ulotning maqsadi: talabalarga matritsa rangini hisoblashning oson yo`lini o`rgatish.

Bizga  maydonda

               (1)

 tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan  vektorlar sistemasini tuzamiz:

                               (2)

Ta’rif 11.1.  Matrisaning rangi deb, uning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasining rangiga aytiladi, ya’ni  

.

Tabiykim matrisani rangi ta’rif bo’yicha hisoblash ancha murakkab masala hisoblanadi. (Rangini hisoblashning boshqacha, ya’ni oson va tez  hisoblash yo’li bormi?) 

         To’g’ri to’rtburchakli matrisa uning  satr va  ustunlarinning kesishgan joyida turuvchi elementlardan  tartibli () determinant ajratib olamiz. Hosil bo’dgan determinantga matrisaning  tartibli minori deyiladi.

         Bizni  matrisaning minorlari ichida noldan farqli eng yuqori tartibli minorlari qiziqtiradi. Dastlab quyidagi muhim lemmalarni keltiramiz:

         Lemma 11.2.  Agar matrisaning barcha  tartibli minorlari nolga teng bo’lsa, barcha  tartibli  () minorlari ham nolga teng bo’ladi.

         Isbot. Bizga  tartibli minorlar berilgan bo’lsin. U holda Laplas teoremasiga asosan, bu minor hamma  tartibli minorlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’ladi va bular nolga tengligidan  minorning nolga tengligi kelib chiqadi.

         Lemma 11.3.  Agar matrisaning  tartibli noldan farqli bo’lsa, u holda shu minorda hisoblangan ustunlardan tuzilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.

         Isbot. Teskarisidan faraz qilamiz, ya’ni agar bu vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda minorning ustunlari shu minorning boshqa ustunlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi va demak determinantning xossasiga asosan minor nolga teng bo’ladi. Bu farazimiz esa lemma shartiga ziddir.

Endi matrisaning rangini minorlar yordaida hisoblashni beruvchi asosiy teoremani keltiramiz:

         Teorema 11.4.  Matrisaning rangi, uning noldan farqli eng kata minorlarining tartibiga tengdir.

         Isbot. Faraz qilaylik, matrisaning rangi  ga teng bo’lib, uning birinchi  ta ustunlari chiziqli erkli bo’lsin. Shu ustunlarning elementlarida  bosh minorni tuzib va uni o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy  tartibli minorni qaraymiz. Shuni ta’kidlaymizki lemmaga asosan  va  agar  tartibli minor mavjud bo’lsa teorema shu yerni o’zida isbot bo’ladi. Faraz qilaylik  tartibli minor  

ko’rinishda bo’lsin.

         Bu minorni oxirgi ustun bo’yicha yoyib chiqamiz:

 bu yerda

 dan iboratdir. Hocil bo’lgan tenglikda  bo’lganligi uchun

 tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik barcha  uchun to’g’ri bo’lib, uning koeffisiyentlari  ga bog’liq bo’lganligi tufayli  matrisaning  ustuni aynan mos holda  koeffisiyentlari bilan olingan birinchi  ta ustunining yig’indisidan iborat bo’ladi.

         Bu teoremaning isbotlash davomida biz muhim xulosaga keldik, ya’ni agar determinant nolga teng bo’lsa, uning bir usutuni qolgan ustunlarining chiziqli kombinasiyalaridan iborat bo’ladi, ya’ni biz determinantning xossasiga teskari xossani ham o’rinli bo’lishligini ko’rsatdik. Ikkinchidan teorema shartiga asosan biz tartibi  dan katta bo’lgan hamma minorlarning nol bo’lishini ko’rsatishimiz kerak edi, ammo teoremani isbotining davomida faqat noldan farqli o’z ichiga oluvchi minorni nol bo’lishini ko’rsatsak kifoyadir. Albatta bu matrisani rangini hisoblashga ancha yengillashtiradi.

         Biz teoremadan kelib chiqqan holda bir xulosaga kelamizki agar biz matrisani rangi ta’rifini, uning satrlaridan tuzilgan vektorlarning rangiga teng deb olganimizda ustun va satr bo’yicha kiritilgan ranglar teng bo’ladi, chunki noldan farqli minor uni transponirlash natijasida noldan farqlicha qolaveradi.

         Misol. Ushbu matrisani  

  tartibli matrisani rangini hisoblaymiz. Shuni ta’kidlaymizki bu matrisada eng yuqori tartibli minor, bu uchinchi tartibli minordir.

Bu minorni o’z ichiga oluvchi ikkinchi tartibli minorini qaraymiz:

,

                                               

Endi bu noldan farqli  minorini o’z ichiga oluvchi minorlarini qaraymiz:

,    ,

va demak noldan farqli eng kata minori ikkinchi tartibli minori bo’lganligidan  bo’ladi.

         Matrisalarni rangini ya’ni bitta qulay usuli, bu matrisalarga elementar almashtirishlar qo’llash yordamida topish usulidir, chunki bizga ma’lumki matrisalarga elementar almashtirishlar ta’sir etishi natijasida unining noldan farqli minori noldan farqlicha va nolga teng minori nolga tengligicha qolaveradi va demak, agar  bo’lsa, u holda

 bo’ladi.

Natijada biz matrisada yetarlicha nollarni paydo qilib, so’rnra uning minorlarini hisoblasak matrisaning rangini hitsoblash ancha oson kechadi. Bundan tashqari biz elementar almashtirishlar nafaqat matrisaning satri uchun balki ustunlari uchun bajarilishini talab qilsak, u holda biz matrisa unga ekvivalent bo’lgan va bosh diagonalida birlar soni  ta bo’lgan matrisaga keladi. Bu usulni yuqorida keltirgan matrisaga bajaramiz:

  

hosil qilamiz. Bu matrisada faqat bitta noldan farqli eng katta  minor mavjud va uning bosh diagonalida ikkita bir sonlari joylashgan va demak uning rangi 2 ga, bundan esa berilgan matrisani rangi 2 ekanligini hosil qilamiz.

Shuni ta’kidlaymizki  butun sonlar halqasida berilgan matrisani rangi to’g’ridan to’g’ri kiritishimiz hisoblashimiz mumkin, albatta halqalar tipiga qarab ayrim muammolar paydo bo’lishi mumkin. Masalan  halqada berilgan matrisa elementar almashtirishlar qullash natijasida, ung ekvivalent bo’lgan matrisa diagonal shaklga keladi, ammo bu diagonalda hamma vaqt ham bir sonlari joylashavermaydi. Biz Algebra va sonlar nazariyasi kursida bunday holatlarni ko’ramiz, lekin keyinchalik ayrim tipdlagi halqada, anqrog’i ko’phadlar halqasida berilgan matrisalarni o’rganishda bu masalaga batafsil to’xtalib o’tamiz. 

Nazorat uchun savollar

1. 
   Matritsa rangi deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Matritsaning rangi haqidagi teoremani ayting.
   
3. 
   Rangi 2 ga teng bo`lgan matritsaga misol keltiring.
   

Adabiyotlar

1. 
   Hojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Darslik, -T.: O’qituvchi, 2001.
   
2. 
   Isroilov M.I., Soleyev A.S. Sonlar nazariyasi. – T.: Fan, 2003.
   
3. 
   Шнeпeрман Л.Б.Сборник задач по алгeбрe и тeории чисeл.-Минск, Вышeйшая школа, 1982.
   
4. 
   Проскуряков И.В. Сборник задач по линeйной алгeбрe.- М.: Наука, 1984.
   
5. 
   Фадeев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшeй алгeбрe.-М.: Наука, 1977.