Matritsa tushunchasi chiziqli algebraning asosiy tushunchalaridan biri bo’lib, uning talaba tomonidan chuqur o’zlashtirilishi muhim ahamiyatga EGA

Ta’rif 1.9. Agar A matritsaning satrlarini ustun, ustunlarini satr qilib yozsak, xosil bo‘lgan matritsa A matritsaning transponirlangan matritsasi deyilib, A^T ko‘rinishda belgilanadi. Demak,
A[a_ki] bo‘lsa, A^T  [a_ik], i1,2,...,m, k1,2,...,n.
Transponirlangan va teskari matritsalarning ta’riflaridan bevosita quyidagi tengliklar kelib chiqadi.
(AB)^T  B^T A^T
(AB)^-1  B^-1 A^-1
detA^T  detA.
Ta’rif 1.10. A[a_ki], i,k1,2,...,n kvadratik matritsaning elementlari bosh dioganalga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘lsa, ya’ni a_ki  a_ik bo‘lsa, u simmetrik matritsa deyiladi. Simmetrik matritsa uchun A^T A tenglik o‘rinli.
Ta’rif 1.11. A kvadratik matritsaning elementlari
a_ki-a_ik , i,k1,2,...,n,
tenglikni qanoatlantirib, bosh dioganaldagi elementlari nolga teng, ya’ni a_ii0, i1,2,...,n bo‘lsa, u kososimmetrik matritsa deyiladi. Kososimmetrik matritsalar uchun
A^T-A
tenglik o‘rinli.
Oliy algebradan ma’lumki, toq tartibli kososimmmetrik matritsalarning determinantlari aynan nolga teng, juft tartibli kososimmetrik matritsalarning determinantlari esa uning elementlari butun ratsional funksiyasi kvadratini ifodalaydi. Demak, xaqiqiy elementli kososimmetrik matritsalarning determinantlari manfiymas bo‘ladi.
Ixtiyoriy kvadratik matritsani simmetrik va kososimmetrik matritsalar yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Xaqiqatan,
[_ki]
Ixtiyoriy kvadratik matritsa bo‘lsin. Undan

matritsalarni tuzamiz. Aniqki, A matritsa simmetrik, B matritsa kososimmetrik bo‘lib,
  A  B
bo‘ladi.
Ta’rif 1.12. Agar  kvadrat matritsa uchun
^TE
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u ortogonal matritsa deyiladi.
Ortogonal matritsaning bu ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
1) ^T^-1
2) Ortogonal matritsaning determinanti 1 ga teng ya’ni
det 1 ;
3) Ixtiyoriy satr (yoki ustun) elementlari kvadratlari yig‘indisi birga teng, ya’ni

4) Qandaydir satr (ustun) elementlarini boshqa satr (ustun) mos elementlariga ko‘paytmasining yig‘indisi nolga teng, ya’ni
km
Agar matritsa elementlari skalyar parametrga masalan, t vaqtga bog‘liq bo‘lsa, u holda matritsani bu parametr bo‘yicha hosilasi deb, elementlari berilgan matritsa mos elementlaridan shu parametr bo‘yicha olingan hosilalardan iborat bo‘lgan matritsaga aytiladi. Demak, agar X[x_ki], bo‘lsa,
yoki .
Biz qarab chiqqan matritsalarning elementlari sonlardangina iborat edi. Umuman olganda matritsalarning elementlari ixtiyoriy ob’ektlar bo‘lishi mumkin, xususan shunday matritsalarni qarash mumkinki, ularning elementlari o‘zlari matritsalardan iborat bo’ladi.
Masalan,

matritsani qisqacha quyidagicha yozish mumkin
,
bu yerda , ,


, .

Matritsalar yordamida quyidagi o‘zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini sodda va ixcham ko‘rinishda yozish mumkin. Xaqiqatan,

(1.1)
differensial tenglamalar sistemasini matritsa ko’rinishida yozish uchun, quyidagi 2 ta matritsalarni kiritamiz.
1. (1.1) tenglamalar o‘ng tomonlaridagi koeffitsientlardan tuzilgan matritsani

2. Ustun matritsa yoki vektorni

bu matritsalarni ko‘paytirib, quyidagi ustun matritsani tuzamiz.

Nixoyat ikki matritsaning tenglik shartidan foydalanib isbotlash mumkinki (1.1) sistema quyidagi matritsali tenglamaga teng kuchli bo’ladi.

Bundan murakkab bo‘lgan differensial tenglamalar sistemasini ham matritsa ko‘rinishida yozish mumkin.
Xususiy xolda quyidagi
, k1,2,...s
ikkinchi tartibli tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishidagi yozuvi

bo‘lib, bu yerda A[a_kj], B[b_kj], C[c_kj], k,j1,2,...,s -kvadratik matritsalar, x va X lar elementlari mos ravishda x_i va X_i, i1,2,...,n lardan iborat bo‘lgan ustun matritsalardir.
A-kvadrat matritsa va x-ustun matritsalarni o‘zaro ko‘paytirib, Ax - ustun matritsa (vektori) ni xosil qilamiz. Ma’lumki, ustun-matritsa bu vektordir, shuning uchun Ax va x ustun-matritsa (vektor) larni o‘zaro skalyar ko‘paytirib, xadlarni qayta gruppalab chiqsak,
(1.2)
xosil bo‘ladi.
Agar A matritsa simmetrik, ya’ni a_ki  a_ik bo‘lsa,
Ax ,
oddiy kvadratik forma xosil bo‘ladi.
Agar Ax kvadratik forma musbat aniqlangan bo‘lsa, u xolda soddalik uchun A matritsa musbat- aniqlangan deyiladi.
Agar A matritsa kososimmetrik, ya’ni a_kk0, a_ki-a_ik bo‘lsa, u xolda _bo’ladi.
Bizga n ta satr va m ta ustundan iborat bo‘lgan nxm tipdagi A matritsa berilgan bo‘lsin.
A [a_ki], k1, 2,..., n, i1, 2,..., m.