Matritsalar algebrasi

107. Agar A va B matritsalar nomanfiy bo’lsalar A+B, AB – matritsalar ham nomanfiydir.
108. I – ustun birlardan iborat bo’lsin va A matritsa nomanfiy bo’lsin. AI=I – shart A matritsaning stoxastikligining yetarli va zaruriy sharti ekanligini isbotlang.
109. Agar A va B matritsalar stoxastik bo’lsa, AB ham stoxastik matritsa ekanligini isbotlang.
110. A matritsa stoxastik bo’lsin. A^-1 matritsa mavjudmi? Agar A^-1 mavjud bo’lsa. stoxastik bo’ladimi?
111. Qaysi holda stoxastik matritsa ortogonal bo’ladi?
112. Ayniyatlarni isbotlang:
a) ; b) .
113*. A – uchburchakli matritsa, m – natural son bo’lsin. A^m matritsaning izi topilsin.
114. A – ixtiyoriy matritsa bo’lsin. Hisoblang:
a) ; b) ; c) agar = 0 bo’lsa, A = 0 ekanligini isbotlang.
115. Agar A – ikkinchi tartibli nilpotent matritsa bo’lsa, trA = 0 bo’lishini isbotlang.
116. AB – BA = E tenglikni qanoatlantiruvchi A va B matritsalar mavjud emasligini isbotlang.
117. A va B – matritsalar ikkinchi tartibli katakli matritsalar bo’lsin. bu matritsalarni ko’paytirish mumkinligi shartlarini ifodalang. Agar AB ko’paytma mavjud bo’lsa, (AB)^□= A^□B^□ ekanligini isbotlang.
118. A va B – matritsalar ikkinchi tartibli yuqori katakli uchburchakli matritsalar bo’lsin va AB ko’paytma mavjud bo’lsin. A^□B^□ matritsani hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
119. A – ikkinchi tartibli katakli matritsa bo’lsin, B – katakli matritsa ikkita katakdan iborat bo’lgan ustun bo’lsin.
a) AB ko’paytma mavjud bo’lishi shartlarini ifodalang.
b) agar AV mavjud bo’lsa, (AB)^□= A^□B^□ ekanligini isbotlang.
c) A^□B^□ ko’paytmani hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
120. A va B – matritsalar katakli dioganal matritsalar bo’lsin. shunday shartlarni ifodalangki, ular bajarilganda:
a) AB ko’paytma aniqlangan bo’lsin;
b) (AB)^□= A^□B^□;
c) AB va BA ko’paytmalar aniqlangan bo’lsin;
d) AB=BA.
121. Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) (A+B)^□= A^□+B^□; b) (AB)^□= A^□B^□,
bunda A va B matritsalar ixtiyoriy katakli matritsalar.
122. Berilgan matritsalarni kataklarga ajratib matritsalar ko’paytmasini hisoblang:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

123. (N^□)^-1 matritsani toping, agar N – quyidagi ko’rinishdagi katakli matritsa bo’lsa: , bunda A va C matritsalar teskarilanuvchidir.

124. E – r-tartibli birlik matritsa, D – ixtiyoriy r×s o’lchovli matritsa, o, b, x – ustunlar bo’lsin. Tenglamani yeching:
a) (ED)^□x=0 ; b) (ED)^□x=b.
125. Matritsalarning kroneker ko’paytmasi hisoblansin:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

126. a=(a₁…a_n), b=(b₁…b_m)^T bo’lsin. a b, b a larni hisoblang va ba bilan taqqoslang.
127. Quyidagi ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) .