Matritsalar va ular ustida amallar. Matritsalar va ularning turlari

Matritsalarning iqtisodiy tatbiqlari. Ushbu mavzu nihoyasida matritsalarning iqtisodiy ma’nosi va tatbiqlarini ifodalovchi misollar kеltiramiz.

1-misol. Xalq xo‘jaligining tarmoqlari o‘rtasida ayrim ishlab chiqarish resurslarining taqsimoti quyidagi jadval orqali berilgan bo‘lsin (umumiy hajmga nisbatan foiz hisobida, raqamlar shartli):

Resurslar	Xalq xo‘jaligi tarmoqlari
	Sanoat	Qishloq xo‘jaligi	Boshqa tarmoqlar
1.Yoqilg‘i	45	30	25
2. Elektr energiyasi	53	27	20
3. Mehnat resurslari	38	21	41
4. Suv resurslari	40	48	12

Bu jadvalni matritsa yordamida quyidagi qulay ko‘rinishda ifodalash mumkin:

Bu yozuvda A matritsaning har bir elеmеnti aniq iqtisodiy ma’noga ega. Masalan, а₁₁=45 va а₂₁=53 sanoat tarmoqlari yoqilg‘ining 45 foizini va elektr energiyasining 53 foizini iste’mol qilishini ko‘rsatadi; а₂₂=27 qishloq xo‘jaligi elektr energiyasining 27 foizini sarflashini, а₃₃=41 esa mehnat resurslarining 41 foizi boshqa tarmoqlarda band ekanligini ifodalaydi va hokazo.
2-Misol. Korxona M₁,M₂ , M₃ va M₄ kabi belgilangan 4 xil mahsulot ishlab chiqaradi. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun 3 xil s₁ , s₂ va s₃ xom ashyolardan foydalaniladi. Bunda а_ij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) orqali M_i mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun S_j xom ashyodan qancha birlik sarflanishini belgilab, mahsulotlar birligini ishlab chiqarish uchun xom ashyolar sarfi me’yorini ushbu А_4x3=(а_ij) matritsa orqali ifodalaymiz:
.
Bunda M_i (i=1,2,3,4) mahsulotlarni ishlab chiqarish rejasini ifodalovchi C satr va S_j (j=1,2,3) xom ashyo birligining bahosini ko‘rsatuvchi B ustun matritsalar quyidagicha bo‘lsin:
.
Bu holda CA matritsalar ko‘paytmasi mavjud va u rejalangan mahsulotlarni ishlab chiqarish uchun sarflanadigan s₁, s₂ va s₃ xom ashyolar miqdorini ifodalovchi quyidagi D satr matritsadan iboratdir:

Demak biz ishlab chiqarish rejasini bajarishimiz uchun s₁ , s₂ va S₃ xom ashyolardan mos ravishda 1210, 730 va 1150 birlik miqdorda ega bo‘lishimiz kerak.
Xom ashyo miqdorini ifodalovchi topilgan D matritsani xom ashyo birligi bahosini ko‘rsatuvchi B matritsaga ko‘paytmasi DB ham mavjud va u bizga zarur miqdordagi xom ashyolarni sotib olish xarajatimizni determinant sondan iborat bo‘ladi:
.
XULOSA
Matritsa – satrlar va ustunlar shaklida joylashtirilgan sonlar jadvali bo‘lib, ma’lum bir ma’noda son tushunchasini umumlashtiradi. Matritsalar matematikaning ham nazariy, ham amaliy (jumladan iqtisodiy mazmunli) masalalarida keng qo‘llaniladi. Matritsalar ustida ularni songa ko‘paytirish, o‘zaro qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish kabi algebraik amallar aniqlangan. Bunda hosil bo‘ladigan matritsalar algebrasidagi ko‘paytirish amalining o‘ziga xos xususiyati shundan iboratki, u kommutativlik qonuniga bo‘ysunmaydi. Bu algebrada nol va birlik matritsa 1 va 0 sonlariga o‘xshash xossalarga ega. Matritsalar uchun ko‘rsatilgan algebraik amallardan tashqari transponirlash amali ham aniqlangan.


Tayanch iboralar

Matritsa * Matritsa tartibi * Matritsa elеmеnti * To‘rtburchakli matritsa * Kvadrat matritsa * Ustun matritsa * Satr matritsa * Teng matritsalar * Diagonal elеmеnt * Diagonal matritsa * Birlik matritsa * Nol matritsa * Matritsalar yig‘indisi * Matritsalar ayirmasi * Matritsalar ko‘paytmasi * Matritsaning darajasi * Matritsaning transponirlangani * Simmetrik matritsa * Kososimmetrik matritsa

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Matritsa dеb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Matritsaning tartibi qanday aniqlanadi?
   
3. 
   Matritsaning elementi deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Matritsalar qanday turlarga ajratiladi?
   
5. 
   Qachon ikkita matritsa teng deyiladi?
   
6. 
   Matritsaning qanday elementi diagonal deyiladi?
   
7. 
   Birlik matritsa qanday ta’riflanadi?
   
8. 
   Qachon matritsa nol matritsa deyiladi?
   
9. 
   Matritsani songa ko‘paytirish qanday aniqlanadi?
   
10. 
    Qaysi shartda matritsalarni qo‘shish yoki ayirish mumkin?
    
11. 
    Matritsalar yig‘indisi yoki ayirmasi qanday topiladi?
    
12. 
    Matritsalarni qo‘shish amali qanday qonunlarga bo‘ysunadi?
    
13. 
    Matritsalarni qo‘shish amali qanday xossalarga ega?
    
14. 
    Qaysi shartda matritsalarni ko‘paytirish mumkin?
    
15. 
    Ko‘paytma matritsa tartibi qanday topiladi?
    
16. 
    Matritsalarning ko‘paytmasi qanday aniqlanadi?
    
17. 
    Matritsalarni ko‘paytirish amali qanday qonunlarga bo‘ysunadi?
    
18. 
    Matritsalarni ko‘paytirish amali qanday xossalarga ega?
    
19. 
    Matritsaning natural darajasi qanday aniqlanadi?
    
20. 
    Matritsani darajaga ko‘tarish amali qanday xossalarga ega?
    
21. 
    Matritsalarni transponirlash nima?
    
22. 
    Matritsalarni transponirlash amali qanday xossalarga ega?
    
23. 
    Qachon matritsa simmetrik deyiladi?
    
24. 
    Qanday shartda matritsa kososimmetrik deb ataladi?
    
25. 
    Matritsaning iqtisodiy tatbig‘iga misol keltiring.
    

Testlardan namunalar

1. 
   Matritsa mazmuni qayerda to‘g‘ri ko‘rsatilgan?
   

A) sonlar yig‘indisi; B) sonlar ko‘paytmasi;
C) sonlar to‘plami; D) sonlar jadvali;
E) sonlar birlashmasi.

2. 
   matritsaning tartibini aniqlang.
   

A) 2×2; B) 2×3; C) 3×2; D) 3×3; E) 2×3=6.

3. 
   Elementlari a_ij bo‘lgan matritsa qachon nol matritsa deyiladi?
   

A) Barcha a_ij elementlarning yig‘indisi nolga teng bo‘lsa;
B) Barcha a_ij elementlari nolga teng bo‘lsa;
C) Barcha a_ij elementlarning ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa;
D) Biror satridagi barcha a_ij elementlar nolga teng bo‘lsa;
E) Biror ustundagi barcha a_ij elementlar nolga teng bo‘lsa.

4. 
   Quyidagi matritsalarning qaysi biri nol matritsa bo‘lmaydi?
   

E) Keltirilgan barcha matritsalar nol matritsa bo‘ladi.

5. 
   Elementlari a_ij bo‘lgan kvadrat matritsa qachon birlik matritsa deyiladi?
   

A) Barcha a_ij elementlar birga teng bo‘lsa;
B) a_ii =1 va a_ij =0 (i≠j) bo‘lsa;
C) Barcha a_ii diagonal elementlar birga teng bo‘lsa;
D) Biror satrdagi barcha a_ij elementlar birga teng bo‘lsa;
E) Biror ustundagi barcha a_ij elementlar birga teng bo‘lsa.

6. 
   Birlik matritsani ko‘rsating.
   

A) ; C) ; B) ; D) ; E) .

7. 
   Birlik matritsani ko‘rsating.
   

A) ; B) ; C) ;
D) ; E) bu yerda birlik matritsa yo‘q .

8. 
   Qaysi shartda A_mn va B_pq matritsalarni ko‘paytirish mumkin?
   

A) m=p; B) m=q; C) n=p; D) n=q; E) mq=np.

9. 
   Quyidagi A va B matritsalar ustida qanday amallar bajarish mumkin?
   

A) A –B ; B) A·B ; C) B·A ; D) B–A ; E) A+B.


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   A va B matritsalar bo‘yicha (n+2)A, (1–n)B, A+B, A–B va nA+(n–3)B matritsalarni toping:
   

.

2. 
   Berilgan A va B matritsalar bo‘yicha A∙B va B∙A matritsalarni toping hamda A∙B=B∙A yoki A∙B≠B∙A ekanligini aniqlang :
   

.

DETERMINANTLAR VA ULARNING XOSSALARI

•