Mavzu : Furye qatorining yaqinlashuvchiligi. Reja: 1-: Furye qatorining yaqinlashuvchiligi

Oraliqning chetki ikkala nuqtalarida yig`indi

,

ya`ni f (- ) va f (+ ) larning o`rta arifmetigiga teng bo`ladi.

Misol. f (x)= x funktsiya berilgan bo`lsin. Bu funktsiya (- , ) yopiq oraliqda uzluksiz va ekstremumlarga ega bo`lmasin.

Yechilishi:

Funktsiyaning Furye qatordagi koeffisiyentlar nollardan iboratdir. Xakikatdan ham

(1)

Bundagi birinchi qo`shiluvchi x=-x* almashtirishdan so`ng ko`rinishga kelib, ikkinchi qo`shiluvchi bilan yig`indisi nolga teng bo`ladi, ya`ni: a_n=0 (bunda n=0,1,2,…). (2)

b_n koeffitsiyentlar bo`laklab integrallash yordamida topiladi:

(3)

yoki (4)

U holda, x uchun Furye qatori quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

5)

Teoremaga asosan oxirgi qator uzluksizdir. - < x < da uning yig`indisi quyidagiga teng bo`ladi:

(6)

x=± da yig`indi . Qatorning barcha hadlari nolga aylanadi.

da (6) formula Leybnits qatoridan iborat bo`ladi, ya`ni:

(7)

6. JUFT VA TOQ FUNKTSIYaLAR UChUN FURYE QATORI[[[[[[[[

f(x) funktsiya biror (- , ) oraliqda aniqlangan bo`lsin. Bu funktsiya argument ishorasining o`zgarishi bilan o`z ishorasini o`zgartirmasa, ya`ni:

(1)

bo`lsa, f (x) toq funktsiya; agar o`z ishorasini o`zgartirsa, ya`ni bo`lsa, juft funktsiya deb nomlanadi.

Quyidagi va integrallar juft funktsiyalar bo`lganda o`zaro teng, toq bo`lganda esa ishoralari bilan farqlanadi. Shuning uchun juft funktsiyalar uchun (3)

toq funktsiyalar uchun esa (4)

interallar o`rinlidir.

Juft funktsiyalar uchun Furye qatorida sinuslar ishtirok etmaydi. U holda, Furye koeffisiyenti quyidagicha bo`ladi: