Mavzu : Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak. To’g’ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik alomatlari. Nuqtadan to’g’ri chiziqgacha masofa

Ikki to’g’ri chiziqning parallellik alomatlari

Parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab va biz ham beramiz. batafsil yechimlar tipik vazifalar.
Keling, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti bilan boshlaylik Oksi . Uning isboti chiziqning yo'naltiruvchi vektorini aniqlashga va chiziqning tekislikdagi normal vektorini aniqlashga asoslangan.
Teorema.
Bir tekislikda bir-biriga mos kelmaydigan ikkita toʻgʻri chiziq parallel boʻlishi uchun bu toʻgʻri chiziqlarning yoʻnalish vektorlari kollinear yoki bu toʻgʻri chiziqning normal vektorlari kollinear boʻlishi yoki bitta chiziqning yoʻnalish vektori normalga perpendikulyar boʻlishi zarur va yetarlidir. ikkinchi qator vektori.
Shubhasiz, tekislikdagi ikkita chiziqning parallellik sharti (chiziqlarning yo'nalishi vektorlari yoki chiziqlarning normal vektorlari) yoki (bir chiziqning yo'nalish vektori va ikkinchi chiziqning normal vektori) ga kamayadi. Shunday qilib, agar va a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va

Va

mos ravishda a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, u holda a va b parallel chiziqlar uchun zarur va yetarli shart quyidagicha yozilishi mumkin.

, yoki

, yoki , bu yerda t qandaydir haqiqiy son. O'z navbatida a va b to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi va (yoki) normal vektorlarining koordinatalari to'g'ri chiziqlarning ma'lum tenglamalaridan topiladi.
Xususan, tekislikdagi Oksi to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a chiziq shakl chizig'ining umumiy tenglamasini aniqlasa.

, va to'g'ri chiziq b -

, u holda bu chiziqlarning normal vektorlari mos ravishda koordinatalarga ega va a va b chiziqlarning parallellik sharti quyidagicha yoziladi.
Agar a to'g'ri chiziq shaklning qiyalik koeffitsienti bilan to'g'ri chiziq tenglamasiga mos kelsa

Shuning uchun, agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa va qiyalik koeffitsientli to'g'ri chiziqlar tenglamalari bilan berilishi mumkin bo'lsa, u holda chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan to'g'ri chiziqlarni qiyalik koeffitsientlari teng bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamalari bilan berish mumkin bo'lsa, unda bunday to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi.
Agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi a va b to'g'ri chiziq tekisligidagi chiziqning kanonik tenglamalarini aniqlasa.

Va

, yoki shakl tekisligidagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari

Va

mos ravishda, u holda bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga va ga ega bo'ladi va a va b chiziqlar uchun parallellik sharti quyidagicha yoziladi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqlar parallelmi?

Va ?
Yechim.
To'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi shaklida qayta yozamiz:

. Endi biz bu to'g'ri chiziqning normal vektori ekanligini ko'ramiz

, va to'g'ri chiziqning normal vektori. Bu vektorlar kollinear emas, chunki bundaylar yo'q haqiqiy raqam t , buning uchun tenglik (

). Binobarin, tekislikdagi chiziqlar parallelligi uchun zarur va yetarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.
Javob:
Yo'q, chiziqlar parallel emas.
Misol.
Chiziqlar va parallellar bormi?
Yechim.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini qiyalikli to'g'ri chiziq tenglamasiga keltiramiz: . Shubhasiz, va chiziqlar tenglamalari bir xil emas (bu holda berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning qiyaliklari teng, shuning uchun dastlabki chiziqlar parallel.