Mavzu-10: kvadrat tenglamalar

II-usul.
1-qadam. Berilgan tenglamani kasr va radikallardan tozalang va standart shaklga keltiring 
2-qadam. Berilgan  ifodani ikkita chiziqli hadlar ko‘paytmasiga ajrating.
3-qadam. Har bir chiziqli ko’paytmani 0 ga tenglashtiring (nol mahsulot qoidasini qo'llash uchun).
4-qadam. Ushbu chiziqli tenglamalarni yeching va berilgan kvadrat tenglamaning ikkita ildizini oling.
Misol: Berilgan kvadrat tenglamani ko’paytiruvchilarga ajratish usulida yeching.
,
Javoblar:  yoki ​
ning ko’paytiruvchilari 1, ,  va  .
Eslatma: Biz har doim faqat haqiqiy sonlar yordamida ko’paytiruvchilarni hisobga olmaymiz. Ba'zi kvadrat tenglamalar uchun (masalan, x²+1) ko’paytiruvchlarga ajratish kompleks sonlarni talab qiladi:

Kvadrat tenglamani formula yormdamida yechish.
Kvadrat formulaga ko’ra, ax²+bx+c=0 tenglamasi uchun x ning qiymatlari quyidagi bilan berilgan:

Misol: . tenglamani yeching.
Bu yerda, . Kvadrat tenglamadan foydalanib quyidagilarga ega bo‘lamiz:





Kvadrat tenglama ildizlarining xossalari.
Kvadrat tenglama ildizlarining xossalarini kvadrat formulani diqqat bilan kuzatish orqali aniqlash mumkin. U diskriminantdan iborat bo'lib, u aslida formuladagi farqni keltirib chiqaradi va ikkita ildizni hisoblashni taqazo etadi.
Ma’lumki, standart shaklida yozilgan har qanday kvadrat tenglama uchun uning ildizlarini hisoblash formulasi quyigicha:

Kvadrat tenglama uchun diskriminant (D)
ga teng.
Bu yerda,
bo‘lsa, u holda ikki xil haqiqiy ildizlarga ega;
bo‘lsa, о‘zaro teng haqiqiy ildizlarga ega;
bo‘lsa, kompleks ildizlarga ega bo‘ladi.
Misol: Quyidagi ikkita kvadrat tenglama ildizlarining xossalarini aniqlang:

.

1. 
   Berilgan kvadrat tenglama uchun:
   

,
,
bu ikkita haqiqiy ildizlari mavjud ekanligini anglatadi.

2. 
   Berilgan kvadrat tenglama uchun:
   

bu yagona haqiqiy ildizga ega ekanligini anglatadi.
Misol: Quyidagi kvadrat ko‘phadning yagona ildizi bo‘lgan k ning qiymatini toping:

Ma'lumki, agar D=0 bo'lsa, kvadrat ko'phadning yagona ildizi bor. Shunday qilib,



Misol: Ikki yil oldin, otaning yoshi o'g'lining yoshidan 3 baravar ko'p edi. Uch yildan keyin otaning yoshi o'g'lining yoshidan 4 baravar katta bo'ladi. Ularning hozirgi yoshini toping.
Yechish: O’g’ilning hozirgi yoshi x bo’lsin. Ikki yil oldingi o'g'lining yoshi
, otasining ikki yil oldingi yoshi . Bu shuni anglatadiki, otaning hozirgi yoshi , va shuning uchun 3 yildan keyin uning yoshi  bo’ladi. 3 yil ichida o'g'ilning yoshi x+3 bo'ladi.
Berilgan shartlarga ko'ra, quyidagilar o‘rinli bo‘ladi:




Agar , bo'lsa, o'g'ilning 2 yil oldingi yoshi salbiy bo'ladi, bu mumkin emas. Shunday qilib, o'g'ilning hozirgi yoshi x = 5, Bundan kelib chiqib otaning hozirgi yoshini: