Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar
Reja
1. Sonning butun va kasr qismi
2. Bo’luvchilar soni va yig’indisi
3. Eyler funksiyasi.
4. Diofant tenglamalar
Ta’rif. Haqiqiy x sonning [x] butun qismi deb, x dan katta bo’lmagan eng katta butun songa aytiladi.
Masalan, [-1,5]=-2, [-1]= -1, [0]=0, [1,5]=1, [π]=3.
Umuman olganda, ta’rifga binoan, [x]=k tenglik quyidagini bildiradi: k son k≤x shartni qanoatlantiradigan butun sondir.

1-rasm
y=[x] funksiyaning grafigi zinasimon ko’rinishga ega (1-rasm).
{x} =x - [x] tenglik bilan xR sonining kasr qismi aniqlanadi.
Masalan, 
Xossalar:
1) 3) 
bu yerda a ixtiyoriy butun , x, y – ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
3) {x}=x tenglik 0 ≤ x < 1 bo’lgandagina bajariladi;
4) {x}={y} tenglik x-y=n (bu yerda n-butun son) bo’lgandagina bajariladi;
5) Ixtiyoriy x uchun {x+1}={x} bo’ladi.
Shunday qilib, y={x} funksiya eng kichik davri 1 ga teng bo’lgan davriy funksiyadir. Uning grafigi 2-rasmda keltirilgan.

2-rasm
1-masala . (II Soros olimpiadasi).  tenglamani yeching.
Yechilishi. Faraz qilaylik, [x]=k bulsin. k ≥ 0 ekanligi tushunarli.
x ≥ k bo’lganligi uchun x≥ 0. Natijada tengsizlikni hosil qilamiz.
Bundan 1≤x≤9 kelib chiqadi, bundan 1≤ k ≤9 . x²+9 son 10 ga bo’linuvchi butun sondir. Tekshirishlar shuni ko’rsatadiki,  sonlar tenglamani qanoatlantiradi.
Javob.  . 
2-masala .  tenglamani yeching.
Yechilishi. Faraz qilaylik, [x]=k. U holda

Teng kuchli sistemani yozamiz:
(*)
Bundan k quyidagi tengsizlikni qanoatlantirishi kelib chiqadi:

Ya’ni: – 2<k<3.
Shunday qilib, k -1; 0; 1; 2 qiymatlarga ega bo’lishi mumkin. Ushbu qiymatlarni ketma-ket (*) sistemaga qo’yib va hosil bo’lgan tengsiziklarni yechib, quyidagi javobni topamiz.