Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

6-masala .  100! son ikkining qaysi darajasiga bo’linadi?
Yechilishi. 1,2,…,100 sonlar orasida quyidagilar mavjud:
ta  juft son,
ta 4 ga karrali son.
ta  8 ga karrali son.
ta 16 ga karrali son.
ta 32 ga karrali son.
ta 64 ga karrali son.
Bundan 100!=1 2 3 100 ko’paytmada jami 50+25+12+6+3+1=97 ta 2 soni qatnashadi, ya’ni: 100! son 2⁹⁷ bo’linadi va 2⁹⁸ ga bo’linmaydi.
Javob. 97 . 
Bu masala natijasini umumlashtiramiz.
7-masala (Lejandr formulasi).   son  tub sonning qaysi darajasiga bo’linadi?
Yechilishi. Xuddi yuqorigidek, agar  bo’lsa, u holda n! ni kanonik yoyilmasida p ning daraja ko’rsatkichi  ga teng.
Ba’zi holda quyidagi yozuv qo’llaniladi:

chunki yozilgan yig’indida biror joydan boshlab barcha qo’shiluvchilar nolga teng bo’ladi. 
8-masala . Agar x>0 va n natural son bo’lsa, u holda 
bo’lishini isbotlang.
Yechilishi.  Ravshanki, ( ) oraliqda  ta butun sonlar joylashgan. Haqiqatdan ham, agar m butun son  tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda  . 
Huddi shunday, ( ) oraliqda  ta berilgan x>0 ga karrali sonlar joylashgan.
x dan kichik va n ga bo’linadigan natural sonlarni  ko’ramiz. Bunday sonlar jami     ta. Ammo   dan katta bo’lmagan va n ga bo’linadigan sonlar ham  ta. Tenglik isbotlandi. 
9-masala . p va q –o’zaro butun tub sonlar uchun

ekanligini isbotlang.
Yechilishi. XOY tekislikda butun koordinatali  (x;y) nuqtalar to’plamini ko’ramiz, bunda shart bajarilsin.

3-rasm
Bu to’plam OABC to’g’ri to’rtburchakning ichida yotib (3-rasm), jami  ta nuktalarga ega. Ushbu to’g’ri to’rtburchakning diagonalida O va B nuqtalardan boshqa butun koordinatalarga ega bo’lgan nuqtalar mavjud emas. Haqiqatdan ham , agar butun koordinatali (t; p) nuqta OB da yotsa (bu yerda 1<m), u holda  ya’ni: qn=mp. q va p o’zaro tub sonlar bo’lganligi sababli n son p ga, m son esa q ga karrali, ya’ni, m≥q, n≥p. Ziddiyat. Shuning uchun OBC uchburchakda qaralayotgan butun koordinatali nuqtalarning teng yarmi, ya’ni  tasi yotadi.
Endi biz ushbu miqdorni boshqacha usul bilan hisoblaymiz.
x=k (k – o’zgaruvchi natural son) bo’lsa, u holda KL kesmada jami  ta butun koordinatali nuqta yotadi (3 rasm). 
bo’lgani uchun k sonni o’zgartirib, uchburchakda yotgan butun koordinatali nuqtalar umumiy soni quyidagicha aniqlanadi:

Demak,

tenglik isbotlandi.