Mavzu №2. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalar Reja

13-masala.  – ixtiyoriy multiplikativ funksiya uchun
,
funksiya ham multiplikativ bo’ladi. 
Yechilishi.
, ,  bo’lsin. U holda
Asosiy ayniyatga ko’ra


Natija. Sonlar nazariyasida quyidagi multiplikativ funksiyalar katta ahamiyatga ega: a natural sonining natural bo’luvchilar (a) soni va (a) yig’indisi.
Ular quyidagicha aniqlanadi: (a) =  1, (a) = d
( belgi a ning barcha bo’luvchilar bo’yicha yig’indini bildiradi).
Asosiy ayniyat va geometrik progressiya hadlarining yig’indisini ifodalovchi formula bilan foydalanib a natural sonining natural bo’luvchilar (a) soni va (a) yig’indisi uchun
(a)=  va (a) =
formulalar o’rinliligiga amin bo’lamiz.
Haqiqatdan ham,  ning bo’luvchilari  bo’lgani uchun
, 
bo’ladi. Funksiyalarni multiplikativligidan


formulalar kelib chiqadi.
14-masala. p va q – turli tub sonlar bo’lsin. Quyidagi sonlar nechta natural bo’luvchiga ega?
a)pq;
b)p²q;
c)p²q²;
d) p^mqⁿ?
Yechilishi. a) Ravshanki, pq sonning bo’luvchilari 1, p, q va pq sonlar bo’ladi. Demak,  = 
b) p²q  sonning bo’luvchilari 1, p, p² , q, qp, qp² sonlar bo’ladi. Demak,
c) p²q²  sonning ikki qator bo’luvchilarini yozamiz:
1, p, p²,
1, q, q².
Qolgan bo’luvchilar bu ikkita qatordagi aqalli bittadan olingan sonlarning ko’paytmalaridan hosil bo’ladi. Bunday sonlar jami 9 ta. Demak,  .
d) p^mqⁿ sonning ikki qator bo’luvchilarini yozamiz:
1, p, p², ..., p^m,
1, q, q², ..., qⁿ.
Qolgan bo’luvchilar bu ikkita qatordagi aqalli bittadan olingan sonlarning ko’paytmalaridan hosil bo’ladi. Bunday sonlar jami  (m + 1)(n + 1) ta. Demak,  .