Mavzu: amaliy matematika fanining nazariy asoslari

A sonning ma’lum bir foizi vaqt (oy, kvartal, yil) o‘tishi bilan qo‘shilib borsa, jamg‘arma hosil bo‘ladi.
Agar jamg‘armada faqat boshlang‘ich A sonining foizi qo‘shilib borsa, oddiy foizli jamg‘arma deyiladi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:
Bu yerda, p kelishilgan muddatda A so’m-ning o‘sish foizi, n- oylar yoki yillar soni (muddat),
An- n muddatdan keyingi oddiy foizli jamg‘arma miqdori.
Misol-1. Boshlang‘ich A  1000000 so‘m pul, oyiga p  20% li oddiy foizli jamg‘armada, n =5 oydan keyin qancha so’m bo’ladi?
Yechish: formulaga asosan, 5 oydan keyingi oddiy foizli jamg‘arma miqdori quyidagicha bo‘ladi
. .
Misol-2. To‘rt oydan keyin, 10%li oddiy foizli jamg‘arma miqdori 14000 so‘m bo‘lgan bo‘lsa, boshlang‘ich pul miqdori qancha bo‘lgan?
Yechish: n=4, p10%, A4=14000 formulaga asosan
tenglikdan, boshlang‘ich pul miqdori 100000 so‘m ekanligi kelib chiqadi.
Iqtisodiy va statistik hisob-kitoblarda, shuning-dek, kо‘plab sohalarda kattaliklarning qismlarini foiz-larda ifodalash odatiy holdir. Bu о‘zining amaliy qulayliklariga ega, chunki raqamlarning bir xil qism-larda ifodalanishi raqam qismlarining qiymatlarini butun son bilan va bir-biri bilan tezda solishtirish, hisob-kitoblarni soddalashtirish va bir vaqtning o'zida
miqdor qismlarini butun sonlar bilan ifodalashda yetarli darajada aniqlikka erishishga imkon beradi. Kо‘pincha foizlar moliyaviy hisob-kitoblarda, shuningdek, mahsulotlarning iqtisodiy о‘sishini hisobga olishda, ishlab chiqarish rejalarni bajarishda, aholi sonining о‘sishi va boshqalarda qо‘llaniladi.
Moliyaviy hisob-kitoblarda ma’lum bir davrda (kо‘pincha bir yilda) daromadning necha foizini kо‘rsatadigan raqam u yoki bu summani keltirsa, bu raqam foiz stavkasi, daromad summasining о‘zi esa - foizli pul deb ataladi. Oddiy va murakkab foizlar formulalari foizli pullarni hisoblash uchun ishlatiladi.
Agar foizlar dastlabki summaga nisbatan hisoblansa, bu usul oddiy foiz usuli deb ataladi.
Agar foizlar dastlabki summani va hisoblangan foizlarni о‘tgan davr mobaynida о‘z ichiga olgan summaga nisbatan hisoblansa, bu usul murakkab foiz usuli deb ataladi.
Belgilaymiz:
B - omonatning dastlabki summasi;
t – foizlarni hisoblash davri –vaqt;
p - oddiy foiz stavkasi - omonatning hisoblangan
ulushi;
P - omonatdan foydalanishning butun muddati
uchun foizli pul;
T - omonatdan foydalanish muddati;
n - omonatdan foydalanish muddati uchun foizlar-
ni hisoblash davrlari soni;
S - T muddati oxirigacha depozit bо‘yicha
shakllangan summa.
B ⋅ p - bir hisoblash davri uchun foiz puli;
P = B ⋅ p ⋅ n - depozitdan foydalanish muddati uchun;
S = B + B ⋅ p⋅ n = B (1+ p ⋅ n ) - muddat oxirigacha hosil bо‘lgan miqdor - oddiy foiz formulasi.
bu yerda (1+ p ⋅ n) oddiy foiz о‘sish omili. Bu formula boshlang‘ich depozit summasining oddiy foizlar bо‘yicha о‘sishi arifmetik progressiya qonuni-ga amal qilishini bildiradi, uning birinchi hadi V ga teng, farq esa B⋅ p. Bundan tashqari, S = B + B ⋅ p⋅ n yig‘indisi n ning chiziqli funksiyasidir (doimiy p uchun). Funksional bog‘liqlikning mavjudligi - foizlar hisoblangan n martadan keyin depozit bо‘yicha hosil bо‘lgan miqdor Sn = B + B ⋅ p⋅ n = B (1+ p ⋅ n) dir .
Murakkab foizlar usuli depozit shart-nomasida muddat sifatida belgilangan t muddat uchun olingan foizlarni hisoblash depo-zitining boshlang'ich summasi B ga qo'shiladi va keyingi t davrda foizlar янги summaдa B + B ⋅ p (yoki B (1 + p)). hisoblab chiqiшни bildiradi.
Shunday qilib, ikkinchi depozit davrining oxiriga kelib depozit summasi, agar uni S2 deb belgilasak,
S2 = B (1 + p) + B (1 + p) ⋅ p =
= B (1 + p) (1 + p) = B (1 + p)2
tashkil etadi.
Xuddi shunday, uchinchi davrning oxirigacha aniqlacak,
S3 = B (1 + p)2 + B (1 + p)2 ⋅ p =
= B (1 + p)2 (1 + p) = B (1 + p)3
va bank tomonidan omonatdan foydalanishning butun davri T = tn oxirigacha depozit miqdori
Sn = B (1 + p)n tashkil etadi.
Ushbu formula murakkab foiz formulasi deb ataladi va birikma uchun depozitning dastlabki miqdorining о‘sishini bildiradi va foiz geometrik progressiya qonuniga muvofiq boradi, uning birinchi hadi B ga teng, maxraj esa (1 + p).