Mavzu: aniq integrallar

INTEGRALLANUVCHI FUNKSIYALAR SINFI
1°. Uzluksiz funksiyalarning integrallanuvchanligi. Aytaylik, /(x) funksiya oraliqda aniqlangan bo'lsin.
1- teorema. Agar f(x) funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u shu [a, b] da integrallanuvchi, ya’ni bo‘ladi.
Modomiki, ekan, u Kantor teoremasiga ko‘ra oraliqda tekis uzluksiz bo'ladi. Kantor teoremasining natijasiga ko‘ra, olinganda ham shunday son topiladiki, oraliqni uzunliklari dan kichik bo'lgan bo‘laklarga ajratilganda har bir bo‘lakdagi funksiyaning tebranishi
bo‘ladi. Unda oraliqni diametri bo'lgan har qanday P bo‘laklashda

bo‘ladi. Demak,
2°. Monoton funksiyalarning integrallanuvchanligi.
2- teorema. Agar /(x) funksiya segmentda chegaralangan va monoton bo‘lsa, u shu segmentda integrallanuvchi bo'ladi.
■4 Aytaylik, f(x) funksiya segmentda o'suvchi bo‘lib, bo‘lsin.
sonni olib, unga ko‘ra ni deymiz. U holda segmentning diametri bo'lgan ixtiyoriy Pbo'laklash uchun

bo'ladi.
Demak,
.
3°. Uziladigan funksiyalarning integrallanuvchanligi.
3- teorema. Agar /(x) funksiya segmentda chegaralangan va shu segmentning chekli sondagi nuqtalarida uzilishga ega bo‘lib, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘lsa, funksiya da integ­
rallanuvchi bo‘ladi.
A f(x) funksiya da chegaralangan bo‘lsin. Demak,

bo'ladi.
Soddalik uchun, f(x) funksiya segmentning faqat bitta
nuqtasida uzilishga ega bo‘lib, qolgan barcha nuqta­larda uzluksiz bo'lsin. sonni olib, unga ko‘ra sonni deymiz.
x* nuqtaning 8 atrofi ni olib, ushbu
to‘plamni qaraymiz. Bu to'plamda /(x) funksiya uzluksiz bo‘lib, Kantor teoremasiga binoan u tekis uzluksiz bo'ladi. U holda shunday son topiladiki,
1мг uchun bo‘lishidan
bo'lishi kelib chiqadi.
Endi segmentni diametri bo‘lgan ixtiyoriy P bo‘laklashini olib, unga nisbatan
(1)
yig'indini tuzamiz. Bu yig'indining har bir hadida oraliqlarning uzunliklari qatnashadi.
(1) yig‘indining ushbu munosabat bajariladigan ga mos hadlaridan tuzilgan yig‘indini bilan, qolgan barcha hadlardan (bunday hadlar uchun

bo‘ladi) tashkil topgan yig'indini bilan belgilaymiz.
Natijada

bo‘lib, tenglikning o‘ng tomondagi qo‘shiluvchilar uchun

bo‘ladi. Demak,

Bu esa f(x) funksiyaning da integrallanuvchi ekanini
bildiradi. ►