Mavzu: aniq integrallar

2°. Nyuton—Leybnits formulasi. Aytaylik, f(x) funksiya segmentda berilgan va shu segmentda uzluksiz bo‘lsin. U holda /(x) boshlang‘ich funksiya
3°. O‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi. Faraz qilaylik, bo‘lsin. Ravshanki, bu holda

integral mavjud bo‘ladi.
Ayni paytda, bu funksiya da boshlang'ich funksiyaga ega bo'lib,

bo'ladi.
1) funksiyaning barcha qiymatlari ga tegishli;
2). .
3) funksiya da uzluksiz hosilaga ega bo'lsin. U holda
(2)
bo'ladi.
Ravshanki, murakkab funksiya segmentda uz luksiz bo‘lib, bo‘ladi.
Nyuton—Leybnits formulasiga ko‘ra
(3)
bo'ladi.
(2) va (3) munosabatlardan
(4)
bo‘lishi kelib chiqadi. ►
(4) formula aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.
4°. Bo‘laklab integrallash formulasi. Aytaylik, u(x) va v(x) funksiyalaming har biri [a, b\ segmentda uzluksiz u'(x) va v'(x) hosilalarga ega bo‘lsin. U holda
(5)
bo'ladi.
Nyuton— Leybnits formulasidan foydalanib topamiz:

Keyingi tenglikdan

bo'lishi kelib chiqadi. ►
(5) formula aniq integrallarda bo ‘laklab integrallash formulasi deyiladi.
5°. Vallis formulasi. Ma’lumki, bo‘lganda

tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengsizliklamioraliq bo‘yicha integrallab, so'ngra 4° da keltirilgan formulalardan foydalanib topamiz:

Bu tengsizliklardan

bo'lishi kelib chiqadi.
Keyingi tengsizliklardan topamiz:
(6)
(6) formula Vallis formulasi deyiladi.
ANIQ INTEGRALNI TAQRIBIY HISOBLASH
Odatda, aniq integrallar Nyuton—Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. Bu formula boshlang‘ich funksiyaga asoslanadi. Ammo boshlang'ich funksiyani topish masalasi doim osongina hal bo‘la- vermaydi. Agar integral ostidagi funksiya murakkab bo‘lsa, tegishli aniq integralni taqribiy hisoblashga to‘g‘ri keladi.