Mavzu. Bir necha oʻzgaruvchining funksiyasini ekstremumga tekshirish reja

mavzu. BIR NECHA Oʻzgaruvchining funksiyasiNI EKSTREMUMGA TEKSHIRISH


Reja
1. Ikki oʻzgaruvchi funksiyasining ekstremumlari
2. Ikki oʻzgaruvchi funksiyasining yopiq sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
3. Eng kichik kvadratlar usuli ¹


funksiya biror sohada aniqlangan va boʻlsin.
1-ta’rif. Agar nuqtaning shundav atrofi topilsa va bu atrofning barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi.
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bogʻliq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi. Shu bilan birga funksiya oʻzining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega boʻlmasligi mumkin.
1-teorema (ekstremum mavjud boʻlishining zaruriy sharti). Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega boʻlsa, u holda boʻladi.
Isboti. Oʻzgaruvchilardan birini fksrlaymiz. Masalan, deymiz. U holda bir oʻzgaruvchining funksiyasiga ega boʻlamiz. Bu funksiya da ekstremumga erishadi. Bir oʻzgaruvchining funksiyasining ekstremumi nazariyasiga koʻra boʻladi.
boʻlishi shu kabi isbotlanadi.
Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi.
nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi boʻlsin.
U holda boʻladi. Bu hosilalarni tenglama bilan berilgan sirtga nuqtada oʻtkazilgan urinma tekislikning

tenglamasiga qoʻysak, yoki kelib chiqadi.
Bundan 1- teoremaning geometrik talqini kelib chiqadi. Agar nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi boʻlsa, funksiya grafigiga shu nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy tekislikka parallel boʻladi.
Izohlar. 1. funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lib, differensiallanuvchi bo‘lmaganida ham ekstremumga erishishi mumkin. Masalan, uzluksiz funksiya nuqtada differensiallanuvchi emas, ammo minimum nuqta.
Shunday qilib, funksiya nuqtada ekstremumga erishsa, bu nuqtada xususiy hosilalar nolga teng boʻladi yoki ulardan hech boʻlmaganda bittasi mavjud bo‘lmaydi.
Xususiy hosilalar nolga teng boʻladigan yoki ulardan hech boʻlmaganda bittasi mavjud boʻlmaydigan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.
2. Hamma kritik nuqta ham ekstremum nuqta bo‘lavermaydi. Masalan, funksiya uchun nuqta kritik nuqta boʻladi, chunki bu nuqtada har ikkala xususiy hosila nolga teng va Bunda nuqtaning atrofida boʻladigan nuqtalar ham ( oʻqi) boʻladigan nuqtalar ham ( oʻqi ) mavjud boʻladi. Shu sababli nuqta ekstremum nuqta boʻlmaydi (1.9-shakl) .
Bunday nuqtaga minimaks nuqta deyiladi.