Mavzu. Bir necha oʻzgaruvchining funksiyasini ekstremumga tekshirish reja

2-teorema (ekstremum mavjud boʻlishining yetarli sharti). funksiya statsionar nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibligacha uzluksiz hususiy hosilalarlarga ega, bunda boʻlsin. U holda:
1) agar boʻlsa, funksiya nuqtada ekstremumga erishadi: (yoki ) da maksimum; (yoki ) da minimum;
2) agar boʻlsa, nuqtada ekstremum mavjud boʻlmaydi;
3) agar boʻlsa, nuqtada ekstremum mavjud boʻlishi ham, boʻlmasligi ham mumkin ( bu holda qoʻshimcha tekshirishlar oʻtkaziladi).
Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
Ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy va yetarli shartlaridan funksiyani ekstremumga tekshirishning quyidagi tartibi kelib chiqadi:
, xususiy hosilalar topiladi;
Statsionar nuqtalar aniqlanadi;
xususiy hosilalar topiladi;
xususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi;
Har bir statsionar nuqtada ning qiymati hisoblanadi va
2- teorema asosida xulosa chiqariladi.
1-misol. funksiyani ekstremumga tekshiring.
Yechish. Funksiyalarni ekstremumga belgilangan tartibda tekshiramiz.
Funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

Statsionar nuqtalarni aniqlaymiz:

Sistema yechimga ega emas.
Demak, funksiya ekstremumga ega emas.
2-misol. funksiyani ekstremumga tekshiring.
Yechish.


sistemani yechib, statsionar nuqtalarni topamiz:

1) nuqtada
2) nuqtada
1) .
Demak , nuqta maksimum nuqta va
2) .
Qo‘shimcha tekshirish bajaramiz: funksiya nuqtada nolga teng; da manfiy ; da musbat .
Demak, nuqtada ekstremum mavjud emas.
funnksiya chegaralangan yopiq D sohada aniqlangan va differensiallanuvchi boʻlsin. U holda Veerstrass teoremasiga koʻra funksiya eng katta va eng kichik qiymatlariga yoki sohaning ichki nuqtalarida yoki uning chegarasida erishadi. Agar funksiya eng katta yoki eng kichik qiymatiga sohaning ichki nuqtasida erishsa, bu nuqta funnksiyaning ekstremum nuqtasi boʻladi. Demak, funksiya eng katta va eng kichik qiymatlariga ekstremum nuqtalarda yoki sohaning chegarasida erishadi.
Shunday qilib, chegaralangan yopiq sohada differensiallanuvchi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari quyidagi tattibda topiladi:
Soha ichida yotgan barcha kritik nuqtalar topiladi va funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi;
Funksiyaning soha chegarasidagi eng katta va eng kichik qiymatlari hisoblanadi (ayrim hollarda sohaning chegarasi alohida tenglamalar bilan berilgan qismlarga ajratilshi mumkin);
Funksiyaning barcha hisoblangan qiymatlari solishtiriladi va ularning eng katta va eng kichigi ajratiladi.
3-misol. funksiyaning va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
Yechish. soha uchburchakdan iborat (1.10-shakl).
Funksiyaning xususiy hosilalarini nolga tenglaymiz:

Bundan
Bu nuqta sohada yotmaydi. Demak, sohada berilgan funksiyaning ekstremum nuqtalari yo‘q.
Funksiyani soha chegarasida ekstremumga tekshiramiz. Soha chegarasi turli tenglamalar bilan aniqlanuvchi uchta qismdan tashkil topgani sababli funksiyani har bir qismda ekstremumga alohida tekshiramiz.
1) to‘g‘ri chiziqda va funksiya da
o‘suvchi bo‘lgani uchun, uning kesmadagi eng katta qiymati
va eng kichik qiymati bo‘ladi.
2) to‘g‘ri chiziqda va
U holda Bundan Demak, va . to‘g‘ri chiziqning chetki nuqtalarida: ,
3) BO to‘g‘ri chiziqda va U holda Bundan va . to‘g‘ri chiziqning chetki nuqtalarida: ,
Funksiyaning hisoblangan qiymatlarini taqqoslaymiz.
Demak, va
Oldingi bandlarda ikki oʻzgaruvchi funksiyasining butun aniqlanish sohasidagi lokal (yoki global) ekstremumlarini topishni koʻrib chiqdik. Bunda
funksiyaning argumentlari hech bir qoʻshimcha shartlar bilan bogʻlanmagan edi. Bunday ekstremumlarga shartsiz ekstremumlar deyiladi.
Koʻpincha bir necha oʻzgaruvchi funksiyasining, xususan ikki oʻzgaruvchi funksiyasining ekstremum-larini argumentlarni bogʻlovchi biror qoʻshimcha shartlarda topishga toʻgʻri keladi. Masalan, perimetrli toʻgʻri to’rtburchakning eng katta yuzaga ega boʻlganidagi oʻlchamlarini topish; funksiya bilan aniqlangan sirtdan tenglama bilan berilgan silindrik sirt ajratgan chiziqning ekstremumlarini topish (1.11-shakl). Bunday ekstremumlarga shartli ekstremumlar deyiladi.
tenglama berilgan va nuqta bu tenglamani qanoatlantirsin. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtada uzluksiz boʻlsin.