Mavzu. Bir necha oʻzgaruvchining funksiyasini ekstremumga tekshirish reja

1-ta’rif. Agar atrofning tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarida tengsizlik bajarilsa, nuqtaga funksiyaning shartli maksimum (shartli minimum) nuqtasi deyiladi.
Bunda tenglama bogʻlanish tenglamasi deb ataladi, ekstremumga bogʻlanish tenglamasi bilan bogʻlanganlik shartida erishiladigan ekstremum deyiladi.
Ikki oʻzgaruvchining funksiyasi uchun shartli ekstremumni topish masalasi quyidagi usullardan biri bilan yechiladi:
1. Agar bogʻlanish tenlamasinini yoki ga nisbatan yechish mumkin boʻlsa, bu tenglamadan yoki topiladi va u funksiyaga qoʻyiladi. Hosil boʻlgan bir oʻzgaruvchining funksiyasi ekstremumga tekshiriladi;
2. Lagranj koʻpaytuvchilari usuli.
Ikki oʻzgaruvchining funksiyasini Lagranj koʻpaytuvchilari usulu bilan ekstremumga tekshirish quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
Lagranj funksiyasi deb ataluvchi

funksiya tuziladi va uning va boʻyicha xususiy hosilalari topiladi, bu yerda lagranj koʻpaytuvchish deb ataluvchi son;
Shartli ekstremumning zaruruy sharti

sistema bilan beriladi. Bu sistemadan bitta yoki bir nechta sonlar uchligi topiladi, bu yerda shartli ekstremum bo’lishi mumkin bo’lgan nuqta;
Shartli ekstremumning etarli sharti

diterminant va orqali ifodalanadi.
Bunda har bir sonlar uchligi uchun ning ishorasi tekshiriladi:
1) agar boʻlsa, nuqta funksiyaning shartli maksimum nuqtasi boʻladi;
2) agar boʻlsa, nuqta funksiyaning shartli minimum nuqtasi boʻladi;
3) agar ishorasini saqlamasa, nuqtada eksteremum mavjud boʻlmaydi, bu yerda
4-misol. funksiyaning va oʻzgaruvchilar tenglama bilan bogʻlanganlik shartidagi ekstremumini toping.
Yechish. Masalani har ikkala usul bilan yechamiz.
1-usul. Funksiya tenglamasida toʻla kvadratlar ajratamiz:

Bu funksiya uchi nuqtada yotgan paraboloidni ifodalaydi.
Bogʻlanish tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Bu tenglamadan kelib chiqadi. ni berilgan funksiyaga qoʻyib, topamiz:

Bu funksiya parabolani ifodalaydi. Demak, paraboloid bilan tekislik kesishishidan parabola hosil boʻladi.
funksiyani ekstremumga tekshiramiz:
dan
Demak, maksimum nuqta.
Shunday qilib, funksiya uchun shartli
maksimum nuqta boʻladi.
Bundan

2-usul. Lagranj funksiyasini tuzamiz:

Bundan

Shartli ekstremumning zaruruy shartiga koʻra

Sistemani yechamiz:
Demak, mumkin boʻlgan shartli ekstremum nuqta.
diterminantga qoʻyiladigan xususiy hosilalarni topamiz:

U holda

Barcha nuqtalarda, jumladan nuqtada .
Demak, bu nuqtada funksiya shartli maxsimumga ega:

Bir necha oʻzgaruvchi funksiyasini ekstremumga tekshirishning amaliy tatbiqlaridan biri eng kichik kvadratlar usuli hisoblanadi. Bu usulning mohiyati emperik fopmula bilan topilgan nazariy qiymatlarning tajriba natijasida olingan mos qiymatlardan chetlashishi kvadratlarining yigʻindisini

minimallashtirishdan yoki boshqacha aytganda

qiymatning minimal boʻlishini ta’minlashdan iborat.
Eng kichik kvadratlar usulini chiziqli funksiya misolida qarab chiqamiz.
Tajriba natijasida argumentning ta qiymatiga funksiyaning mos ta qiymati olingan, ya’ni tekislikda ta nuqtaning sistemasi berilgan boʻlsin (1.12-shakl).
Emperik formula sifatida

funksiyani olaylik. U holda shunday toʻgʻri chiziqni topish kerak boʻladiki, bu toʻgʻri chiziq nuqtalarining berilgan nuqtalar sistemasidan kvadratik chetlashishi

minimal boʻlishi lozim.
Bu masalani yechish uchun funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz va ularni minimumga tekshiramiz.
Ikki va oʻzgaruvchi funksiyasi ekstremumining zaruriy shartini yozamiz:

Bundan va noma’lumli
(3.1)
tenglamalar sistemasi kelib chiqadi.
(3.1) sistemaning diterminanti

Shu sababli (3.1) sistema yagona yechimga ega boʻladi.
Ikki va oʻzgaruvchi funksiyasi ekstremumining zaruriy shartini yozamiz:

yoki
.
Demak, funksiya kritik nuqtada minimumga ega boʻladi.
Agar emperik formula sifatida

parabolik funksiya olinsa, kvadratik chetlashish funksiyasi quyidagi koʻrinishda beriladi:

Bu funksiya uchun ekstremumning zaruriy shartindan va noma’lumlarning
(3.2.)
sistemasi kelib chiqadi.
(3.2) sistemaning yechmida funksiya minimumga erishadi.
Agar emperik formula sifatida logarifmik funksiya olinsa, bu funksiya belgilashlar yordamida chizqli yoki parabolik funksiyaga keltiriladi.
Agar emperik formula sifatida darajali yoki koʻrsatkichli funksiya olinsa, bu funksiya avval logarimlanadi va keyin belgilashlar yordamida chizqli yoki
parabolik funksiyaga keltiriladi.