Mavzu: Butun sonlarda bolinish nazaryasi Reja: Kirish. Asosiy qism

Kurs ishining maqsadi: Algebra va sonlar nazariyasi fani davomida Butun sonlarda bolinish nazaryasi . Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi tog’risida olgan bilim va ko’nikmalarni mustahkamlash. Butun sonlarni bo‘linish belgilari nazariyasini chuqurroq o’rganish.
Kurs ishining ob’ekti: Oliy va o’rta ta’lim muassalarida chiziqli algebra fanini o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Algebra va sonlar nazariyasi o’qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Butun sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi
shakllantirish;
2. Tub sonlar. Arifmetikaning asosiy qonuni
3. Bo‘linish belgilari


Butun sonlarda bolinish nazaryasi
Bo‘linish belgilari.
Sonlarning umumiy bo‘luvchisi va karralisi
1-ta’rif. Agar noldan farqli a va b butun sonlar uchun a = bq tenglikni qanoatlantiruvchi q butun son mavjud bo‘lsa, u holda a son b songa qoldiqsiz bo‘linadi (qisqacha bo‘ladi) yoki b son a sonni bo‘ladi deyiladi, hamda b | a kabi belgilanadi.
a = bq tenglikdagi a son bo‘linuvchi, b son a sonining bo‘luvchisi, q son esa bo‘linma deb ataladi.
Ravshanki, ikkita son umumiy bo‘luvchiga ega bo‘lsa, ularning yig‘indisi va ayirmasi ham shu bo‘luvchiga ega.
x, y va z butun sonlar bo‘lsa, u holda quyidagi sodda xossalar o‘rinli:

Izoh. Shuni aytish joizki, ohirgi f) hossa bo‘linish bilan bog‘liq mulohazalarni butun sonlar uchun emas, balki natural sonlar uchun yuritishga imkon yaratadi.
1-teorema. Agar va uchun tenglikni qanoatlantiruvchi q son mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni a = bq tenglikni qanoatlantiruvchi kamida ikkita xar hil q va q₂ sonlar mavjud bo‘lsin:
a = bq, a = bq₂.
U holda bu tengliklardan kelib chiqadi. ekanligi ya’ni bo‘ladi.
□2-teorema. (qoldiqli bo‘lish) Xar qanday
a = bq + r (1)
tenglikni qanoatlantiruvchi q va butun sonlari mavjud va
ular yagona ravishda aniqlanadi.
Isbot. Mavjudligi. bq son a dan katta bo‘lmagan, b ga bo‘linuvchi eng katta natural son bo‘lsin, u holda

Bu tenglikning ikkala qismiga -bq ni qo‘shsak, hosil bo‘ladi. Agar
r = a - bq deb olsak, a = bq + r ni hosil qilamiz.
Yagonaligi. Faraz qilaylik,

munosabatlar o‘rinli bo‘lsin. U holda bu tengliklarning ayirmasidan
0 = b(q_x - q₂) + (r - r₂)
kelib chiqadi.
Bundan, hosil bo‘ladi, demak,
kelib chiqadi. Lekin bo‘lgani uchun shart
faqatgina bo‘lgandagina bajariladi. Bundan esa
ekanligi kelib chiqadi. □
Teoremadagi tenglikka sonlarni qoldiqli bo‘lish va undagi q songa bo‘linma, r songa esa qoldiq deyiladi.
Misol 1. -197 ni 11 ga qoldiqli bo‘lsak, -197 = 11-(-18) + 1, bu yerda q = 18, r = 1.
Qoldiqli bo‘lish haqidagi teoremaga asosan quyidagi tengliklari yozish mumkin.
(2)
Bu tengliklarning o‘ng tomonidagi tengsizliklarga e’tibor bersak, quyidagi tengsizliklar bog‘lanishi ko‘zga tashlanadi:

bu yerda barcha lar natural sonlardir. Natural sonlar quyidan
chegaranganligi tufayli biror-bir n nomerdan boshlab bo‘ladi.
(34.2) tengliklar sistemasiga Yevklidalgoritmi deb yuritiladi.
Misol 2. 2576 va 154 sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz:
2576 = 154 • 16 +112,
154 = 112 • 1 + 42,
112 = 42 • 2 + 21,
42 = 28 • 1 +14,
28 = 14 • 2.