Mavzu: Butun sonlarda bolinish nazaryasi Reja: Kirish. Asosiy qism

2-ta’rif. butun sonlaming har birini bo‘ladigan songa shu sonlaming umumiy bo‘luvchisi deyiladi.
3-ta’rif. Kamida biri noldan farqli bo‘lgan a va b butun sonlaming umumiy bo‘luvchilari ichida eng kattasi ularning eng katta umumiy bo‘luvchisi deyiladi va EKUB(a, b) yoki qisqacha (a, b) kabi belgilanadi.
4-ta’rif. Agar (a,b) = 1 bo‘lsa, a va b sonlar o‘zaro tub sonlar deyiladi.
1-tasdiq. a va b butun sonlarning EKUBi Yevklid algoritmidagi oxirgi r_B qoldiqqa tengdir, ya’ni (a, b) = r_n.
Isbot. a va b butun sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz. U holda tengliklarning birinchisiga asosan a va b butun sonlarning ixtiyoriy umumiy bo‘luvchi r ni bo‘ladi, va aksincha a = r + bq ga asosan r va b laming xar qanday umumiy bo‘luvchisi a sonni bo‘ladi. Demak, (a,b) = (b, r ).
Bu mulohazalarni Yevklid algoritmiga ikkinchi, uchinchi va undan keyin keladigan tengliklarga qo‘ysak,

tengliklarni hosil qilamiz, demak,
Endi sonlarning EKUBi haqidagi muhim xossalarni keltiramiz.
1-xossa. Agar berilgan sonlarni biror songa ko‘paytirsak, u holda ularning EKUBi ham shuncha marta ortadi.
Isbot. Yevklid algoritmini ak va bk sonlarga tadbiq etsak, tengliklarni xar bir hadi k marta ortadi. Shuning uchun,
(ak, bk) = (a, b)k.
2-xossa. Agar a va b sonlarning har biri biror d songa bo‘linsa, ularning EKUBi ham shu songa bo‘linadi, ya’ni

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. 34.8-xossaga asosan

Bundan

ekanligi kelib chiqadi.
Xususiy holda d = (a, b) bo‘lsa,

kelib chiqadi, ya’ni agar a = da va b = db_x bo‘lib, d = (a,b) bo‘lsa, (a, b) = 1 bo‘ladi.
2-teorema. Agar bo‘ladi, ya’ni a va c sonlar o‘zaro tub bo‘lib, ab ko‘paytma c ga bo‘linsa, u holda b son c songa bo‘linadi.
Isbot. (a,c) = 1 tenglikning ikkala tomonini b ga ko‘paytiramiz: (ab, cb) = b.
Teorema shartiga asosan, ga karrali
bo‘lganligi uchun, yuqoridagi xossalarga asosan bundan
esa ekanligi kelib chiqadi. □