Mavzu: Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar reja kirish Asosiy qism: I bob

2) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlamtiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. Ma’lumki, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda yoziladi. U holda bo’ladi. Bularni va chegaraviy shartlarni e’tiborga olib, tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, u holda tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Agar bo’lsa, trivial yechimga ega, bo’lsa, trivial bo’lmagan bo’lmagan yechimga ega bo’lamiz. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzish lozim bo’ladi. yechimni normallashtirsak, kelib chiqadi. Endi , ya’ni tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Demak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi

ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak, tengliklar va

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Oxirgi sistemani yechib, larni topamiz: Shunga ko’ra, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga keladi:

Buni umumlashgan Grin funksiyasi ta’rifining birinchi shartlariga bo’ysundirib

algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
Bu sistemani yechib, quyidagilarni topamiz:
.
Bularni o’rniga qo’ysak, umumlashgan Grin funksiyasi

ko’rinishga keladi. noma’lumni topish uchun umumlashgan Grin funksiyasining normallangan yechim bilan ortoganal bo’lim shartidan foydalanamiz, ya’ni

tenglikdan foydalanamiz. ni bu shartga qo’yib,

ni topamiz. ning bu qiymatini funksiyaning oxirgi formulasiga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi hosil bo’ladi.



2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, ushbu
(2.2.1)
tenglama chegarada buziladigan ikkinchi tartinbli differensial tenglama deyiladi. Bunda ko’pincha funksiya uchun tengsizlik bajariladi deb qaraladi.
(2.2.1) differensial tenglama uchun quyidagicha chegaraviy shartlar bilan qo’yilgan masalalar qaraladi:
Agar bo’lsa,
(2.2.2)
Agar bo’lsa,
(2.2.3)
{(2.2.1), (2.2.2)} masalani qaraylik. Agar {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning yechimini

ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu formuladagi funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning Grin funksiyasi deyiladi.
funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (2.2.1) ternglamaning umumiy yechimini topamiz. (2.2.1) ni integrallab,

tenglikka yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalanib,
(2.2.4)
tenglikka ega bo’lamiz. Bundan chegaraviy shartga asosan chegaraviy shartga asosan esa

tenglik kelib chiqadi, bu yerda
.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yamiz:

Bu yerdagin oraliq bo’yicha integralni va oraliqlar bo’yicha integrallarga ajratsak va
,

tengliklarni e’tiborga olsak, (*) tenglik



Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda

belgilash kiritsak, oxirgi tenglikni quyidagi

ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. U holda yuroqidagi ta’rifga asosan funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masala uchun Grin funksiyasi bo’ladi. Bu yerda

tengliKlarni e’tiborga olsak, Grin funksiyasining quyidagicha ko’rinishiga ega bo’lamiz:
(2.2.5)
Bu Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega ekanligi osongina isbotlanadi:
1) Grin funksioyasi kvadratda uzluksiz;
2) bo’lganda tenglik bajariladi;
3) Grin funksiyasi (2.2.2) shartlarni qanoatlantiradi;
4) .
Endi {(2.2.1),(2.2.2)} masalaning yechimini topamiz. (2.2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.2.5) formula bilan aniqlaanadi. Undan chegaraviy shartga asosan esa

tenglik kelib chiqadi.
Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yib,


tenglikka ega bo’lishimiz, bu yerdagi funksiya

ko’rinishga ega bo’lib, u {(2.2.2), (2.2.3)} masalaning Grin funksiyasi bo’ladi.Bu funksiyaning xossalariga to’xtalamiz:
1) Grin funksiyasi to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz (bu yerda );
2) tengsizlik o’rinli.
Bu tengsizlikni isbotlaymiz:

Bu yerda ikkinchi qo’shiluvchida integrallash tartibini o’zgartirib,so’ngra x ni t bilan, t ni esa x bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak,

tenglik kelib chiqadi. U holda




3) bo’lganda tenglikni bajariladi;
4) Grin funksiyasi (2.2.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;
5)
Oxirgi 3), 4) va 5) xossalar ham Grin funksiyasining formulasidan foydalanib qiyinchiliksiz isbotlandi.