Mavzu: Chiziqli funksiyalar. Chiziqli funksiya

Chiziqli funksiya formulasida koeffitsiyentlar

Aniq va soddaligidan tashqari, chiziqli funksiya formulasining ustunligi shundaki, oʻzi ifodalagan toʻgʻri chiziqning ikkita asosiy xususiyatini beradi:

• 
  Burchak koeffitsiyenti \maroonC{m}mstart color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  
• 
  yyy oʻqining yyy-kesishish nuqtasi \greenE{b}bstart color #0d923f, b, end color #0d923f. Boshqacha aytganda, toʻgʻri chiziqning yyy-kesishish nuqtasi (0,\greenE{b})(0,b)left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
  

Masalan, y=\maroonC{2}x\greenE{+1}y=2x+1y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f toʻgʻri chiziq \maroonC{2}2start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 burchak koeffitsiyenti va (0,\greenE{1})(0,1)left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis yyy-kesishish nuqtasiga ega:

\small{1}1\small{2}2\small{3}3\small{4}4\small{\llap{-}1}-1\small{1}1\small{2}2\small{3}3\small{4}4\small{\llap{-}1}-1yyxx\greenE{y\text{-kesishish nuqtasi}=}(0,\greenE 1)y-kesishish nuqtasi=(0,1)\large\maroonC{\text{burchak koeffitsiyenti}=2}burchak koeffitsiyenti=2\large y=\maroonC 2x+\greenE 1y=2x+1
Bu formula orqali burchak koeffitsiyenti va yyy-kesishish nuqtasini topa olishimiz uning birinchi darajali chiziqli funksiya deyilishiga sabab boʻladi!

CHIZIQLI FUNKSIYACHIZIQLI FUNKSIYA — u=kx + b formula bilan aniqlanadigan funksiya, bunda k, b — haqiqiy sonlar. Xossalari:

1) barcha haqiqiy x sonlar uchun aniklangan;

2) haqiqiy qiymatlarni qabul qiladi;
3) k > 0 da oʻsuvchi;
4) Chiziqli funksiyaning orttirmasi argument x orttirmasiga proporsional. Chiziqli funksiyaning grafigi — toʻgʻri chiziqsir. Bu toʻgʻri chizik bilan Ox oʻqi orasidagi burchak a ning tangensi k ga teng: k = tga. k son Ch. f. grafigining Ox oʻqiga ogʻishini ifodalaydi. b parametr Ch. f. grafigi Ou oʻqdan ajratgan kesmaning uzunligiga teng.

Chiziqli funksiya  

Chiziqli funksiya deb, y=kx+b ko‘rinishdagi funksiyaga aytiladi, bu yerda k va b berilgan sonlar. b=0 bo‘lganda chiziqli funksiya y=kx ko‘rinishga ega bo‘ladi va uning grafigi koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi. Bu dalilga asoslanib, y=kx+b chiziqli funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziq bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Ikki nuqta orqali birgini to‘g‘ri chiziq o‘tganligi uchun y=kx+b funksiyaning grafigini yasashda shu grafikning ikki nuqtasi yasash yetarli  bo‘ladi.

Endi chiziqli funksiyani o`rganamiz.
1- m a s a l a . y=2x+5 funksiya grafigini yasang.
x=0 bo‘lganda y=2x+5 funksiyaning qiymat 5 ga teng, ya’ni (0; 5) nuqta grafikka tegishli.
Agar x=1 bo‘lsa, u holda y=2·1+5=7 bo‘ladi, ya’ni (1; 7) nuqta ham grafikka tegishli. (0; 5) va (1; 7) nuqtalarni yasaymiz va ular orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziq y=2x+5 funksiyaning grafigi bo‘ladi (15-rasm). 
y =2x+5 funksiya grafigi har bir nuqtasining orduinatasi y=2x funksiya grafigi o‘sha abssissali nuqtasining ordinatasidan 5 birlik katta bo‘kishini payqaymiz.
Bu y=2x+5 funksiya grafigining har bir nuqtasi y=2x funksiya grafigining mos nuqtasini ordinatalar o‘qi bo‘ylab yuqoriga 5 birlik siljitish yo‘li bilan hosil qilinishini bildiradi.

Umuman, y=kx+b funksiyaning grafigi y=kx funksiya grafigini ordinatalar o‘qi bo‘ylab b birlik siljitish yo‘li bilan hosil qilinadi. y=kx va y=kx+b funksiyalarning grafiklari parallel to‘g‘ri chiziqlar bo‘ladi.

2- m a s a l a . y=–2x+4 funksiya grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.
Grafikning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasini topamiz. Bu nuqtaning ordinatasi 0 ga teng. Shuning uchun –2x+4=0, bundan x=2.
Shunday qilib, grafikning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasi (2; 0) koordinataga ega bo‘ladi.
Grafikning ordinatalar o‘qi bilan kesishish nuqtasini topamiz. Bu nuqtaning abssissasi 0 ga teng bo‘lgani uchun y=–2·0+4=4.
Shunday qilib, grafikning ordinatalar o‘qi bilan kesishish nuqtasi (0; 4) koordinataga ega bo‘ladi (16- rasm).
Chiziqli funksiyaning grafigini yasash uchun ba’zan shu grafikning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topish qulayligini ta’kidlab o‘tamiz.
3- m a s a l a . k=0 va b=2 bo‘lganda y=kx+b chiziqli funksiyaning grafigini yasang.
k=0 va b=2 bo‘lganda funksiya y=2 ko‘rinishga ega bo‘ladi. Grafikning barcha nuqtalarining ordinatalari 2 ga teng.
Bu funksiyaning grafigi Ox o‘qiga parallel va (0; 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bo‘ladi. 
Ko‘pgina fizik jarayonlar chiziqli funksiya yordamida tavsiflanadi.  Masalan, tekis harakatda jismning bosib o‘tgan yo‘li vaqtning chiziqli funksiyasi bo‘ladi.
TAYANCH TUSHUNCHALAR:
Chiziqli funksiya, y=kx+b chiziqli funksiya grafigi, y=kx+b funksiyaning grafigini yasash, y=kx+b funksiyaning grafigini hosil qilish, y=kx va y=kx+b funksiyalar, y=kx+b funksiya grafigining joylashishi.

Qavariq to’plam. 1-ta’rif. Istalgan ikki nuqta shu to’plamga tegishli bo’lganda, bu 

nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi ham shu to’plamga tegishli bo’lsa, bunday 
to’plamga qavariq to’plam deyiladi(1,2-chizma). 
Chiziqli funkstionallar haqidagi Xan-Banax teoremasi

E haqiqiy chiziqli fazo bo’lsin. Agar :E[0,) funkstionallar uchun:

1) (x+u) (x)+ ( u)
2) (x)=(x), 0 shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni qabariq deyiladi. Bu ta’rifdan ko’rinadiki normallangan fazodagi norma qabariq funkstional bo’ladi.
Misollar.

1. 
   R_n fazoda berilgan va quyidagi tenglik aniqlangan : R_n [0,) funkstional qabariq bo’ladi. Shu bilan birga, funkstional fazodagi norma ham bo’ladi. Haqiqatdan ham, bu funkstional uchun (x+u) (x)+ ( u) munosabat o’rinli bshlishini quyidagicha tekshiriladi. Ushbu tenglik o’rinli. Bu ayniyatdan esa, tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan quyidagicha foydalanamiz.
   

yoki
bu erda va r funkstional uchun 2) shartning bajarilishi bevosita kelib chiqadi.

2. 
   S=[0,1] to’plamda berilgan va quyidagi tenglik bilan aniqlangan r:S[0,1][0,) funkstionalning qabariqligi juda oson tekshiriladi. Lekin bu funkstional norma shartlarini to’liq qanoatlantirmaydi, chunki f(x)=x-0,5 funksiya . S=[0,1] fazoga tegishli va f(0,5)=0 tenglik o’rinliyu Bu funkstional uchun normadagi 1) shart bajarilmaydi, ya’ni 0 dan farqli f element uchun bajariladi.
   

E-haqiqiy chiziqli fazo va E₀ uning qism fazosi bo’lsin. f₀ va E₀ qism fazoda berilgan funkstional bo’lsin. Agar f:ER chiziqli funkstional uchun tenglik barcha xE₀ elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda f funkstional f₀ ning E₀ fazodan E fazogacha davomi deyiladi.
Kichikroq fazoda berilga chiziqli fazo funkstionalni kattaroq fazogacha davom ettirish matematik taxlilning asosiy vazifalaridan biridir. Bu masala haqiqiy chiziqli fazofazolar quyidagi teorema orqali hal qilingan.
Teorema (Xan-Banax). E-haqiqiy chiziqli fazo fazo, f₀ esa, E ning qandaydir qism fazosi E₀ da berilga chiziqli fazo funkstional bo’lsin. Agar E da berilgan qabariq r funkstional uchun (1) munosabat barcha xE₀ elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda shunday f:ER chiziqli fazo funkstionali mavjudki, u f₀ funkstionalning davomi bo’ladi va xE tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isboti. Aytaylik, EE₀ bo’lib, f₀ chiziqli fazo funkstional E₀ qism fazoda berilgan bo’lsin. Uni E₀ dan kattaroq bo’lgan E qism fazoga davom ettirish mumkinligini ko’rsatamiz. E₀ qism fazoga tegishli bo’lmagan zÎE elementni olamiz va E₀ hamda z elementni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazoni E bilan belgilaymiz, ya’ni E₀ E E munosabat o’rinli va E ning ixtiyoriy elementini az+x, xE₀, xR ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar f₀ funkstionalning E’ dagi davomi f bilan belgilasak, f(az+x)= f(z)+ f₀(x) tenglik o’rinli bo’ladi, chunki E₀ qism fazoning elementlari uchun f(x)=f₀(x₀) tenglik bajariladi. Agar f(z)=s deb belgilash kiritsak, f(az+x)=s+f₀(x) bajariladi. Endi s ni shunday tanlash kerakki, har qanday xÎE₀ element va ixtiyoriy haqiqiy son  uchun (1) tengsizlik bajarilsin, ya’ni f(x₀)+asr(z+x) >0 bo’lganda oxirgi tengsizlikni yoki (2) ko’rinishda, agar >0 bo’lsa, uni yoki (3) ko’rinishda yozish mumkin. (2) va (3) tengliklarni qanoatlantiruvchi S sonni har doim topish mumkinligini ko’rsatamiz.
E₀ qism fazoning ixtiyoriy y,hÎE₀ elementlari uchun (4) tengsizlik bajariladi. Haqiqatdan ham, bu munosabat quyidagi tengsizlikdan kelib chiqadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(4) tengsizlikdan s₁s₂ tenglikni hosil qilamiz. S sonini shunday tanlaymizki s₁ss₂ bajarilsin. U holda E da aniqlangan va f(az+x)=as+ f₀(x) tenglik bilan aniqlangan f funkstional uchun (1) shart bajariladi. Demak , f funkstional E da aniqlangan va EE₀ munosabat o’rinli hamda E₀ qism fazoning ixtiyoriy elementi x uchun f(x)=f₀(x) tenglik o’rinli. Shuning uchun f funkstional f₀ ning E ga davomi deb qarash mumkin. Shu bilan birga bu funkstional uchun (1) tengsizlik bajariladi. Agar E fazo x₁, x₂,... sistema E₀ ga kirmagan elementlar bo’lsa, u holda f₀ funkstionalning davomi dastlab E₁={E₀,x₁} fazoda quramiz. So’ngra hosil bo’lgan funkstionalning davomi E₂={E₁,x₂} fazoda quramiz va hokazo. Bu erda E_i fazo E_i-1 va x_i elementni o’z ichiga oluvchi eng kichik qism fazodir. Har qanday xE element qandaydir E_k ga tegishli bo’ladi. Demak, f₀ funkstionalni E₀ qism fazodan butun E fazoga (1) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin.

Agar E fazoda sanoqli to’la sistema mavjud bo’lmasa bu teoremani Storn nomi bilan yuritiladigan lemma yordamida isbotlanadi.
Natija. Normallangan E fazoning E₀ qism fazosida uzluksiz f₀ chiziqli funkstional berilgan bo’lsa, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli uzluksiz funkstional f mavjud: 1) f(x)=f₀(x), xE₀ 2)
ya’ni f₀ funkstionalni uning normasini o’zgartirmasdan butun fazoga davom ettirish mumkin.
Isboti. f₀ funkstional E₀ qism fazoda chiziqli va uzluksiz bo’lsin. Ushbu funkstional ni quramiz. . Bu funkstional r qabariq bo’ladi (aslida norma bo’ladi). U holda ihtiyoriy xE₀ element uchun munosabat o’rinli.
Isbotlangan Xan – Banax teoremasidan foydalanib f₀ funkstional E fazogacha davom ettirish mumkin. Agar f₀ ning davomini f bilan belgilasak 1) f(x)=f₀(x), xE₀
2) xE shartlar bajariladi. Demak, , ya’ni . Shuning uchun f chegaralangan va uzluksiz funkstional bo’ladi. Ikkinchi tomondan, ya’ni munosabat ham o’rinli. Demak, bajariladi.
Bu muxim teorema kompleks chiziqli fazo uchun ham o’rinli bo’ladi. Agar E kompleks chiziqli fazo bo’lib, unda berilgan funkstional uchun 1) p(x+y)p(x)+p(y) 2) p(x) p(x) shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni davom ettirish haqida teoremaning bayoni va isboti deyarli o’zgarishsiz kompleks chiziqli fazo uchun ifodalanadi va isbotlanadi.