Mavzu: Chiziqli tеnglamalar sistеmasi

14-§. Koshi masalasining korrektligi.
Quyidagi

(1)

(2)

Koshi masalalarini qaraylik. Aytaylik, , funksiyalar bu Koshi masalalarining yechimlaridan iborat bo’lsin. Bu yerda



Ta’rif-1. Agar soni uchun soni topilib ushbu

(3)

tengsizliklari bajarilganda

(4)

baho o’rinli bo’lsa, Koshi masalasi korrekt deyiladi.

Teorema-1. Aytaylik soxada

va funksiyalar uzluksiz bo’lib, o’zgaruvchi bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsin. U holda Koshi masalasi korrekt bo’ladi.

Isbot. Quyidagi belgilashni kiritaylik:

Berilgan (1), (2) Koshi masalalaridan

munosabatni topamiz va uni oraliq bo’yicha integrallab

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda Lipshits shartidan va uchburchak tengsizligidan foydalanib quyidagi bahoni olamiz:

Agar belgilashdan va Gronuolla tengsizligidan foydalansak, oxirgi bahodan



(5)

kelib chiqadi. Bu yerda sonini olib deb tanlasak, oxirgi tengsizlikdan , bo’lganda

baho kelib chiqadi. Bu esa Koshi masalasining korrektligini ko’rsatadi. ■

Endi, ushbu

(6)

Koshi masalasining yechimini boshlang’ich shartga uzluksiz bog’liqligini o’rganamiz. Buning uchun quyidagi Koshi masalasini ham qaraymiz:

. (7)