Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda innovatsion texnalogiyalar reja

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari
(1)
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari to’plami V arifmetik fazoning biror W qism fazosini tashkil etadi.
1-ta’rif W qism fazoning bazisini tashkil etuvchi istalgan vektorlar sistemasi (1) sistemaning fundamental yechimlari sistemasi deyiladi.
Bazis vektorlar sistemasining ta’rifiga asosan
(2)
Sistema (1) ning fundamental yechimlar sistemasi bo’lishi uchun quyidagi shartlarni basharishi kerak;

1. 
   (2) sistema chiziqli erkin bo’ladi.
   
2. 
   (1) sistemaning ixtiyoriy yechimi (2) orqali chiziqli ifodalanadi.
   

Biror arifmetik fazoning bazisini tashkil etuvchi sistemalar cheksiz ko’p bo’lsa, ularning har biridagi vektorlar soni o’zaro teng. Bundan foydalanib, (1) sistemaning ixtiyoriy yechimini ( deb belgilasak)
(3)
Shaklda ifodalash mumkin. Bu yerda ) bo’lgani uchun (3) yechim (1) sistemaning umumiy yechimlari sistemasini toppish uchun (1) sistemani :
(1’)
Ko’rinishida yozib olib, unga Gauss usulini tatbiq etamiz. Bir jinsli sistema doim hamjoyli bo’lgani tufayli bir necha marta elementar almashtirishlarni bajargandan so’ng (1’) sistema o’ziga ekvivalent bo’lgan:
(4)
Ko’rinishidagi sistemaga keladi. Bunda va (4) dagi tenglamalar soni r noma’lumlar soni n dan kichik.
Aks holda (4) sistema nolmas yechimlarga ega bo’lmas edi. (4) sistema r ta tenglama va (n-r) ta noma’lumlardan iborat. Shu tufayli larni ozod noma’lumlar deb, ularga istalgan sonly ( kamida bittasi noldan farqli ) qiymatlarni bera olamiz.
Faraz qilaylik, bo’sin. Unda (4) sistemadan ketma-ketlikda barcha noma’lumlarga mos sonli qiymatlarni topa olamiz. Parametrlarning yuqoridagi qiymatlariga mos keluvchi (1’) sistemaning yechimi bo’ladi. Endi deymiz. Unda yana (4) sistemadan larga mos keluvchi qandaydir sonlarni topamiz. Natijada (4) sistemaning ikkinchi yechimini topamiz.
Shunday davom ettirib, (n-r) ta qadamdan so’ng (4) sistemaning :
(5)
Yechimlarini topamiz. Endi (5) yechimlar sistemasi (1’) ning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etishini ko’rsatamiz.
Darxaqiqat: 1) (5) yechimlar sistemasini o’zaro chiziqli bog’lanmagan, chunki bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan matritsa chiziqli bog’lanmagan.
A=
(n-r) ta satr va (n-r) tau stun mavjud.
2)endi (1’) ning istalgan yechimining (5) orqali chiziqli Ifodalanishini ko’rsatamiz.
Quyidagi vektorni olamiz:
(6)
vektorlar(1’) sistemaning yechimlari bo’lgani tufayli
ularning istalgan chiziqli kombinatsiyasi ham (1’) ning yechimi bo’ladi. (6) tenglik bilan aniqlanuvchi vector ham yechimi bo’ladi. (5) belgilashlarga asosan vektorning ohirgi r+1, r+2, …. , n koordinatalari mos ravishda larga teng. Chunki bo’lganidan vektorning n-koordinatasi ga teng.
vektorlarning r+1, r+2, … n- koordinatalari ustma ust tushar ekan. Bunday holda ham yechim bo’lishi ma’lum.

Agar (4) sistemadagi larni nollar bilan almashtirsak, u holda bo’lgani uchun =0 bo’ladi.

Demak, yoki bo’lib, ixtiyoriy olingan vektot ham yechimlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’ladi. (5) sistema (1’) tenglamalar sistemasining fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.
(5)sistemadagi yechimlar soni (n-r) ta bo’lganidan (1’) sistema fundamental yechimlar sistemasidagi yechimlarni ham (n-r) ta vektorlardan iborat.
1-natija Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasing fundamental yechimlari sistemasida yechimlari soni bilan sistema matritsasi rangining ayirmasiga teng.
2-natija n ta noma’lumli m ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari to’plami n-r o’lchovli vektorlar fazosini tashkil etadi.
Bir jinsli sistemaing fundamental yechimlari soni p=n-r gat eng bo’lganidan hamda bir jinsli sistemaning istalgan yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi ana shu sistemaning yechimi ekanligidan mazkur yechimlar sistemasi qandaydir vektorlar fazosini tashkil etadi. Vektorlar fazosidagi chiziqli bog’lanmagan vektorlarning maksimal soni (fundamental techimlarni tashkil etuvchi vektorlar soni) n-r bo’lgani uchun bu fazo n-r o’lchovlidir.