Mavzu: Differentsial, Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi. Differensialning geometric va mexanik ma`nosi Reja: Kirish: Asosiy qism

1. Differensiallanuvchi funksiya.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda aniqlangan va x₀(a,b) bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi y orttirmasini
y=Ax+(x)x (1.1)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsa, bu funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bunda A - x ga bog‘liq bo‘lmagan biror o‘zgarmas son, (x) esa x0 da cheksiz kichik funksiya, ya’ni .
y=kx+b chiziqli funksiyani qaraylik. Uning uchun y=kx tenglik o‘rinli, ya’ni funksiya orttirmasi argument orttirmasiga to‘g‘ri proportsional. Tarifdagi y=Ax+(x)x tenglik esa funksiya orttirmasi argument orttirmasiga «deyarli to‘g‘ri proportsional»ligini bildiradi, ya’ni yAx. Bu tenglik |x| qanchalik kichik bo‘lsa, shunchalik aniqroq bo‘ladi. Geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigi x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida biror novertikal to‘g‘ri chiziq, ya’ni biror chiziqli funksiya grafigi bilan «qo‘shilib» ketishini anglatadi. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan funksiyaning x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi funksiya grafigini x nuqtaning yyetarlicha kichik atrofida «to‘g‘rilash» mumkinligini anglatadi.
Masalan, 16-rasmda y=x² funksiya grafigini x₀=1 nuqta atrofida y=2x-1 to‘g‘ri chiziq grafigi bilan «qo‘shilib» ketishi ko‘rsatilgan.

16-rasm 17-rasm
17-rasmdan y=|x| funksiyani x=0 nuqtada differensiallanuvchi emasligi kelib chiqadi, bu funksiya grafigini x=0 nuqtaning hech bir atrofida «to‘g‘irlab» bo‘lmaydi.


2.Differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy va yyetarli sharti
Teorema. f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada chekli f’(x₀) hosilasi mavjud bo‘lishi zarur va yyetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi. Funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiyaning orttirmasiini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin. Undan x0 da ni yozish mumkin. Bundan x0 da , demak x nuqtada hosila mavjud va f’(x)=A ekanligi kelib chiqadi.
Yyetarliligi. Chekli f’(x₀) hosila mavjud bo‘lsin, ya’ni . U holda , bu erda (x) x0 da cheksiz kichik funksiya. Demak,
y=f’(x₀)x+(x)x (1.2)
yoki y=Ax+(x)x, bu erda A=f’(x₀). Shunday qilib x=x₀ nuqtada f(x) funksiya differensiallanuvchi va A=f’(x₀) ekan.
Bu teorema bir o‘zgaruvchili funksiya uchun differensiallanuvchi bo‘lish hosilaning mavjud bo‘lishiga teng kuchli ekanligini anglatadi. Shu sababli hosilani topish amali funksiyani differensiallash, matematik analizning hosila o‘rganiladigan bo‘limi differensial hisob deb ataladi.
Shunday qilib, avvalgi 1-ta’rif bilan ekvivalent bo‘lgan ushbu ta’rifni ham berish mumkin:
2-ta’rif. Agar f(x) funksiya x=x₀ nuqtada chekli f’(x₀) hosilaga ega bo‘lsa, u holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.