Mavzu: Differentsial, Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi. Differensialning geometric va mexanik ma`nosi Reja: Kirish: Asosiy qism

3. Differensial formasining invariantligi.
Aytaylik y=f(x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Differensialning ta’rifiga ko‘ra dy=y_x’x, yoki erkli o‘zgaruvchining orttirmasini dx kabi yozishga kelishganimizni e’tiborga olsak, dy=y_x’dx edi.
Endi x erkli o‘zgaruvchi emas, balki t erkli o‘zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lsin: x=(t). U holda y=f((t))=g(t) funksiya t o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi va dy=y_t’dt tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lekin y_t’=y_x’x_t’dt va dx=x_t’dt larni e’tiborga olsak, dy=y_x’dx formulaga ega bo‘lamiz, ya’ni differensialning avvalgi ko‘rinishiga qaytamiz.
Shunday qilib, differensial formasi o‘zgarmadi, ya’ni funksiya differensialining formasi x erkli o‘zgaruvchi bo‘lganda ham, erksiz (oraliq) o‘zgaruvchi bo‘lganda ham bir xil ko‘rinishda bo‘ladi: differensial hosila va hosila qaysi o‘zgaruvchi bo‘yicha olinayotgan bo‘lsa o‘sha o‘zgaruvchi differensiali ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. Bu xossa differensial ko‘rinishning invariantligi deyiladi. Shuni aytib o‘tish lozimki, bu xossada faqat differensial formasining saqlanishi haqida gap boradi. Agar x erkli o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda dx=x; x erksiz o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda, umuman olganda, dxx bo‘ladi.
Misol. berilgan. 1) erkli x erkli o‘zgaruvchi bo‘lganda va 2) x=t⁵+t²-3 bo‘lganda dy ni hisoblang.
Yechish. 1) (2.2) formulaga ko‘ra

2) Differensial formasining invariantlik xossasidan foydalansak, bo‘lib, ga ega bo‘lamiz.


4-§. Taqribiy hisoblashlarda differensialning qo‘llanilishi.
Yuqorida ta’kidlaganimizdek, x₀ nuqtada differensiallanuvchi y=f(x) funksiya uchun yf’(x₀)dx, ya’ni ydy taqribiy tenglik o‘rinli. Shu taqribiy tenglik matematik analizning nazariy va tatbiqiy masalalarida muhim ahamiyatga ega bo‘lib, differensialning mohiyatini belgilaydi. Yuqoridagi tenglikda y=f(x)-f(x₀), x=x-x₀ deb olsak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
f(x)-f(x₀) f’(x₀)( x-x₀) yoki
f(x)  f(x₀)+f’(x₀)( x-x₀) (4.1)
(4.1) formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Masalan, f(x)= funksiya uchun quyidagi
(4.2)
formula o‘rinli. Agar f(x)= funksiyaning x=0,98 dagi qiymatini hisoblash talab qilinsa, (4.2) formulada x=1, x=-0,02 deb olish yyetarli. U holda bo‘ladi. Agar kalkulyatorda hisoblasak, uni 10^-6 aniqlikda 0,989949 teng ekanligi ko‘rish mumkin. Demak, differensial yordamida hisoblaganda xatolik 0,001 dan katta emas. Umumiy holda differensial yordamida taqribiy hisoblashlardagi xatolikni baholash masalasini kelgusida o‘rganamiz.