Mavzu: Differentsial, Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi. Differensialning geometric va mexanik ma`nosi Reja: Kirish: Asosiy qism

3 . Differensialning fizik ma’nosi.
Moddiy nuqta s=f(t), bu erda s –bosib o‘tilgan yo‘l, t-vaqt,
f(t)-differensiallanuvchi funksiya, qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin.
t vaqt oralig‘ida nuqta s=f(t+t)-f(t) yo‘lni bosib o‘tadi. Yo‘lning bu orttirmasini
s=f’(t)t+(t)t
ko‘rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yo‘lni nuqta biror o‘zgaruvchan tezlik bilan bosib o‘tgan. Agar t vaqt oralig‘ida nuqta o‘zgarmas f’(t) tezlik, ya’ni t vaqtdagi tezligiga teng tezlik bilan harakatlandi desak, bu holda bosib o‘tilgan yo‘l f’(t)t ga teng bo‘ladi. Bu esa yo‘lning differensialiga teng:
ds= f’(t)t.
3. Elementar funksiyalarning differensiallari. Differensial topish qoidalari. Differensial formasining invariantligi.
1. Elementar funksiyalarning differensiallari.
Elementar funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning differensiallari uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
1.d(x^)=x^–1dx (x>0);
2. d(a^x)=a^xlna dx (a>0,a1);
3.d(log_ax)= ;xususan, .
4. d(sinx)=cosxdx;
5. d(cosx=-sinxdx;
6. d(tgx)= ;
7. d(ctgx)=- ;
8. d(arcsinx)= ;
9. d(arccosx)=- ;
10. d(arctgx)= dx;
11. d(arcctgx)=- dx .
2. Differensial topish qoidalari.
Funksiya differensiali ta’rifi va hosila topish qoidalaridan quyidagi tasdiqlarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
a) Chekli sondagi differensiallanuvchi funksiyalar yig‘indisining differensiali ularning differensiallari yig‘indisiga teng.
Masalan, ikki funksiya yig‘indisi uchun bu tasdiqni quyidagicha isbotlash mumkin: (I.4.1 ) formulaga ko‘ra
d(u(x)+v(x))=(u(x)+v(x))’dx=(u’(x)+v’(x))dx==u’(x)dx+v’(x)dx =du+dv.
b) Quyidagi d(u(x)v(x))= v(x)du+u(x)dv formula o‘rinli.
Isboti. (I.4.2) va (2.2) formulalardan foydalanamiz. d(u(x)v(x))=(u(x)v(x))’dx=(u’(x)v(x)+u(x)v’(x))dx=
=(u’(x)dx)v(x)+u(x)(v’(x)dx)= v(x)du+u(x)dv.
v) Quyidagi d(Su(x))=Sdu formula o‘rinli.
g) Bщlinmaning differensiali uchun quyidagi
d( )=
formula o‘rinli.