Mavzu: Differentsial, Differensiallanuvchi funksiyaning uzluksizligi. Differensialning geometric va mexanik ma`nosi Reja: Kirish: Asosiy qism

2-§. Funksiya differensiali, uning geometrik va fizik ma’nolari.
1. Funksiya differensiali.
f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan bo‘lib, x(a;b) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin. Ya’ni funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini
(2.1)
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsin, bunda x0 da (x)0.
Ta’rif. x nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya orttirmasi (2.1) ning bosh qismi f’(x)x berilgan f(x) funksiyaning shu nuqtadagi differensiali deyiladi va dy yoki df(x) orqali belgilanadi, ya’ni dy=f’(x)x.
Masalan, y=x² funksiya uchun dy=2xx ga teng.
Agar f(x)=x bo‘lsa, u holda f’(x)=1 va df(x)=1x, ya’ni dx=x bo‘ladi. Shuni hisobga olgan holda argument orttirmasini, odatda, dx bilan belgilashadi.
Buni nazarga olsak, f(x) funksiya differensialining formulasi
dy=f’(x)dx yoki dy=y’dx (2.2)
bo‘ladi.
2. Differensialning geometrik ma’nosi.
Endi x(a;b) nuqtada differensallanuvchi bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi 18-rasmda ko‘rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
Bu chiziqning (x,f(x)) va (x+x, f(x+x)) nuqtalarin mos ravishda M va K bilan belgilaylik. Unda MS=x, KS=y bo‘ladi. f(x) funksiya x nuqtada chekli f’(x) hosilaga ega bo‘lgani uchun f(x) funksiya grafigiga uning M(x,f(x)) nuqtasida o‘tkazilgan ML urinma mavjud va bu urinmaning burchak koeffitsienti tg=f’(x). Shu ML urinmaning KS bilan kesishgan nuqtasini E bilan belgilaylik. Ravshanki, MES dan Bundan ES=MStg=f’(x)x ekani kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiyaning x nuqtadagi differensiali dy=f’(x)x funksiya grafigiga M(x,f(x)) nuqtada o‘tkazilgan urinma orttirmasi ES ni ifodalaydi. Differensialning geometrik ma’nosi aynan shundan iborat. 18-rasm