Mavzu: Fandagi yangiliklar, fanning ilmiy-nazariy asoslari bo‘yicha dolzarb muammolar, ilmiy izlanishlar materiallaridan fanni o‘qitishda foydalanish. Xalqaro matematika olimpiadasi

Masala 5. Har birida musbat butun sonlar yozilgan n > 1 kartochkalar 
berilgan. Ulardan ixtiyoriy ikkitasinining o‘rta arifmetigini olsak, qandaydir bitta 
kartochka yoki ko‘proq miqdordagi kartochkalar topiladi, ularda yozilgan 
sonlarning o‘rta geometrigiga teng. Qanday n uchun bundan kartochkalardagi 
sonlar o‘zaro teng bo‘lishi kelib chiqadi?
Masala 6. Quyidagi tasdiq o‘rinli bo‘ladigan musbat c konstanta mavjudligini 
isbotlang: Aytaylik n > 1 butun son va tekislikda n ta nuqtadan iborat S shunday 
berilganki, ixtiyoriy ikkita turli S to‘plamidagi nuqtalar orasidagi masofa kamida 1. 
U holda, S to‘plamni ajratuvchi shunday ℓ to‘g‘ri chiziq mavjudki, S to‘plamining 
ixtiyoriy nuqtasidan ℓ to‘g‘ri chizig‘igacha bo‘lgan masofa kamida cn
−1/3
. 
(ℓ to‘g‘ri chiziq S to‘plamni ajratadi agar uchlari S to‘plamidan bo‘lgan biror 
kesma ℓ bilan kesishsa.)
Izoh. cn
−1/3 o
‘rniga kuchsizroq boshqa cn
−α
natijalar ham α > 1/3 qiymatiga 
qarab ball berilishi mumkin. 
Vaqt: 4 soat va 30 daqiqa Har bir masala 7 balldan baholanadi. 
Dushanba, 19-iyul 2021
Masala 1. Aytaylik n > 100 butun son bo‘lsin. Abdulla n, n + 1, . . . , 2n 
sonlarni har birini turli kartochkalarga yozdi. So‘ng ushbu n + 1 ta kartochkalarni 
aralashtirib, ularni ikkita to‘plamga ajratdi. Hosil bo‘lgan ikkita to‘plamdan 

---

kamida bittasida yig‘indisi to‘la kvadrat bo‘ladigan ikkita kartochka topilishini 
isbotlang.
Masala 2. Barcha haqiqiy x1, . . . , x
n
sonlar uchun quyidagi tengsizlikni 
isbotlang
Masala 3. O‘tkir burchakli ABC uchburchakda AB > AC. Uchbruchakni 
ichki D nuqtasi uchun 
∠DAB = ∠CAD. AC kesmadagi E nuqta uchun ∠ADE = 
∠BCD, AB kesmadagi F nuqta uchun ∠FDA = ∠DBC, AC to‘g‘ri chiziqdagi X 
nuqta uchun CX = BX bo‘lsin. O
1
va O
2
, mos ravishda ADC va EXD 
uchburchaklarga tashqi chizilgan aylanalar markazi bo‘lsin. U holda, BC, EF, va 
O
1
O
2
to‘g‘ri chiziqlar bir nuqtadan o‘tishini isbotlang. 
Vaqt: 4 soat va 30 daqiqa Har bir masala 7 balldan baholanadi.