Mavzu: fibonachchi sonlari reja: Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari

2. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari. Fibonachchi sonlari juda ko‘plab qiziqarli xossalarga ega.
Quyida bu xossalardan ba’zilarini keltiramiz.
1- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( un2  1)ga teng, ya’ni
u1  u2  ...  un  un2  1.
Haqiqatdan ham, Fibonachchi sonlarining ta’rifiga ko‘ra
u1  u2  ...  un  (u3  u2 )  (u4  u3 )  ...  (un1  un )  (un2  un1 ) 
 un2  u2  un2  1 . ■
2- x o s s a . Toq raqamli dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yigindisi u2 n ga teng, ya’ni
u1  u3  u5  ...  u2n1  u2n .
4
u1  u2  u3  u4  ...  (1) un  (1) un1  1
2 2
2
2
un
unun
un
un1 un1
unun1 un1un
u1  u2  ...  un  u1u2  u2u3  u1u2 
Ravshanki,
u1  u3  u5  ...  u2n 1 
 u2  (u4  u2 )  (u6  u4 )  ...  (u2n  u2n2 )  u2n .■
3- x o s s a . Juft raqamli dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( u2n1  1 )ga teng, ya’ni
u2  u4  u6  ...  u2n  u2n1 1 .
Bu xossani isbotlash uchun, 1- xossaga ko‘ra,
u1  u2  ...  u2n  u2n2  1
tenglik o‘rinli ekanligini va 2-xossani hisobga olish kifoya:
u2  u4  u6  ...  u2n  (u1  u2  u3  ...  u2n ) 
 (u1  u3  u5  ...  u2n1 ) 
 u2n2  1  u2n  u2n2  u2n  1  u2n1  1 . ■
Yuqorida isbotlangan 1- va 2- xossalardan foydalanib, Fibonachchi sonlarining ishorasi almashuvchi qa- tori yig‘indisi haqidagi quyidagi xossasini ham isbotlash mumkin.
4- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlari uchun
n1 n1
tenglik o‘rinlidir.
5- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlari kvadratlarining yig‘indisi unun1 ga teng, ya’ni
u1  u2  ...  un  unun1 .
Haqiqatdan ham, Fibbonachi qatorining ta’rifiga ko‘ra u1  u1u2 bo‘ladi va birdan katta ixtiyoriy natural n
son uchun
2   (  )  
tenglik o‘rinlidir. Shuning uchun
2 2 2
 ...  unun1  un1un  unun1 . ■
5
2
1)n1
(
2
2
21
k k 1 k 1
k k 1 k 1
uk
 uk uk 1  uk 1uk 1  uk uk 1 

uk (uk  uk 1 )  uk 1 (uk 1  uk )  (1)
k 1
2
k 1
k 1
( k 1)1 ( k 1)1
1 2
2 3
3 4
2n1
2n
2n
1 2
2 3
3 4
2n 2n1
2n1
6- x o s s a . Ixtiyoriy un Fibonachchi sonining kvadrati bilan un1un1 ko‘paytma orasidagi farq birga teng,
ya’ni
un  un1un1   .
Bu hossani matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. Baza: n  2 uchun
u2  u1u3  1  1 2  1  (1) – tasdiq to‘g‘ri.
Induksion o‘tish: bu xossa n  k  2 uchun to‘g‘ri, ya’ni u 2  u u  (1)k 1 yoki u 2  u u  (1)k 1 bo‘lsin.
Oxirgi tenglikning ikkala tomoniga uk uk 1 ifodani qo‘shsak
2 ( 1)k 1
tenglik va bu tenglikdan
k 1
kelib chiqadi. Fibonachchi qatorining aniqlanishidan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:
uk uk 2  uk 1uk 1  (1) ,
 uk 1  uk uk 2  (1) .
Oxirgi tenglikning ikkala tomonini (  1)ga ko‘paytirsak, u 2  u u  (1)( k 1)1 tenglik hosil bo‘ladi. ■
Matematik induksiya usulini qo‘llab u1 , u2 ,... Fibonachchi sonlarining quyidagi 7–10- xossalarni ham is-
botlash mumkin:
7- x o s s a . u u  u u  u u  ...  u u  u 2 .
8- x o s s a . u u  u u  u u  ...  u u  u 2  1 .
9- x o s s a . nu1  (n  1)u2  (n  2)u3  ...  2un 1  un 
 un  4  (n  3) .
10- x o s s a . u1  2u2  3u3  ...  nun  nun2  un3  2 .
Endi Fibonachchi sonlarining binomial koeffitsientlar (Paskal uchburchagi) bilan bog‘lanishini ifodalovchi xossani o‘rganamiz.
6


11- x o s s a . Fibonachchi soni
un ( n  N ) uchun
tenglik o‘rinlidir.
Cnk 1
k
un 
 2 
0
,
 C1k 1   Ck
k
k
0
u1 
 C0  1
k


2
0
 C2k 1   C1k
k
k
0
u2 
 C1  1
 
un1  Cn  Cnk ,
k
k
k



C ,
 k 1   nk 1
k
k
un  Cn
k



1  
 2    2
k
k
u  u  C k
 C k
 1  C k
 C p 1

Cnk 1 Cn p 1 Cns 1
k
p 1
s 1
 1 



 n1 
 2 
k 0
Bu xossani isbotlash uchun un ( n  1,2,... ) sonlardan tuzilgan u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketlikning Fibonachchi qa-
tori bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Buning uchun esa
11 
 
 k
 21 
 
k 0 k 0
ekanligini ta’kidlab, u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketlik uchun un1  un  un1 ( n  2 ) rekurrent tenglikning bajarilishini
ko‘rsatamiz.
Agar n juft son ( n  2s , s  N ) bo‘lsa, u holda
 n 
 2  s
k
0 k 0
 n1 
 2  s 1
0 k 0
 n2 
 2  s 1
un Cn k Cn k
k 0 k 0
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan foydalanib,
s 1 s 1 s 1 s
n n1 nk 1 nk 2 nk 1 n p 1
k 0 k 0 k 1 p 1
s 1 s 1
k 1 p1
7
 1  (Cnk 1  Cnk 1 )  Cn 1
k
k 1
s 1
nk 1
nk 1 nk
 nk ns 1
 nk 2 s s 1
C k  C s 1
C k  C s 1
u  u  1 
 1 

n n1
 1  Cnk  Cs 1  Cnk  Cn
k
s 1 0
k
s
 Cs 
k
 
 
k

s
k



 n1


Yuqorida ta’kidlanganidek,
tenglik
Fibonachchi
sonlari
bilan Paskal uchburchagi orasida
Cnk 1
k
un 
12- x o s s a . Fibonachchi soni un ( n  N ) uchun
tenglik o‘rinlidir.



 

un 
 

2
2
5 


 



s 1
s k 1
munosobatlarni hosil qilamiz. Binomial koeffitsientlarning C k  C k 1  C k xossasiga binoan
s 1 s 1
k 1 k 1
s 1 s 1
k k 1 1
s 1 s
Cn k Cn s Cn k u
k 0 k 0
tengliklarga ega bo‘lamiz.
n toq son bo‘lganda ham, yuqoridagidek mulohazalar yuritib, un1  un  un1 ( n  2 ) tenglikning to‘g‘riligini
ko‘rsatish mumkin. Demak, Fibonachchi qatorining ta’rifiga asosan, u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketligi Fibonachchi qa-
toridir. ■
 n1 
 2 
k 0
bog‘lanishni ifodalayi. 1- shaklda tasvirlangan Paskal uchburchagidagi shtrixli chiziqlar bo‘ylab joylashgan sonlar yig‘indisi Fibonachchi sonlarini tashkil etadi.
1  1  5 n  1  5 n 
 
8
u5=1+3+1=5
u9=1+7+15+10+1=34
n=4
n=5
1 4 6 4
1
5
1
5 10 10
1
n
2
u1=1 u2=1
u3=1+1=2
n=0 1 u4=1+2=3
n=1 1 1 u6=1+4+3=8 n=2 1 2 1 u7=1+5+6+1=13
n=3 1 3 3 1 u8=1+6+10+4=21
...................................
n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
.......................................………..........
1- shakl
Bu xossani isbotlash maqsadida, avvalo,  haqiqiy son uchun  2  1   tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib,  3 ,  4 ,  5 ,  6 va hokazo darajalarni  orqali ifodalaymiz:
 3  2   (1   )  1  2 ,
 4  3   (1  2 )  2  3 ,
 5  4   (2  3 )  3  5 ,
 6  5   (3  5 )  5  8 va hokazo.
Bu ifodalardan ko‘rinib turibdiki, ulardagi ozod hadlar ham,  ning koeffitsientlari ham Fibonachchi sonlari- dan iboratdir.
Matematik induksiya usulidan foydalanib, agar un Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda ixtiyoriy n  2 natural
sonlar uchun   un 1  un formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatamiz.
Haqiqatdan ham, n  2 bo‘lganda   u1  u2  1   tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni baza bajarildi.
9
k
1

    (uk 1  uk )  uk 1  uk

k 1
n
n
1
2
n 1 n
2
2
1  un 1  un1,
2  un 1  un2 .
Induksion o‘tish: n  k bo‘lgan hol uchun   uk  uk formula to‘g‘ri bo‘lsin. U holda n  k  1 bo‘lganda
quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
k 1 k 2
 uk 1  uk (1   )  uk 1  uk  uk 
 uk  (uk 1  uk )  uk  uk 1 .
Demak,   uk  uk 1 .
Shunday qilib,  2  1   va ixtiyoriy n  2 natural sonlar uchun u Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda
  un 1  un formula to‘g‘ri ekanligi isbotlandi.
Endi  2  1   tenglikni kvadrat tenglama sifatida qarab, uning biri musbat, ikkinchisi manfiy ikkita
  1  5 va   1  5 ildizlarini topamiz.  n  u  u  formulaga ko‘ra,
n
 n
Bu tengliklarni un1 va un noma’lumlarga nisbatan tenglamalar sistemasi deb qaraymiz va uni hal qilib, 12- xos-
saning isbotiga ega bo‘lamiz. ■
Shunisi ajoyibki, 12- xossaga binoan, butun qiymatli un son irratsional sonlardan iborat bo‘lgan kvadrat
ildizlar orqali ifodalanmoqda. 12- xossani ifodalovchi tenglik Bine4 formulasi deb ataladi.
Kesmani bo‘laklarga bo‘lishda oltin kesim tushunchasini eslaylik. Berilgan kesmaning oltin kesimi deb uni shunday ikki qismga ajratish tushuniladiki, bu yerda butun kesma uzunligining katta qism uzunligiga nis- bati va katta qism uzunligining kichik qism uzunligiga nisbati o‘zaro tengdir. Bu nisbatning qiymati 1 ga teng
bo‘lishini aniqlash qiyin emas. “Oltin kesim” iborasining mazmuni shu bilan ham tasdiqlanadiki, masalan,
4 Bine (Binet Jak-Filipp, 1786-1857) – fransuz matematigi va astronomi.
10
1
2
yoqimli bo‘lib ko‘rinishi qadim zamonlardayoq ma’lum bo‘lgan. Yana shunisi ham qiziqarliki, lim
 1 ,
n
2
n  un 1
2
boqarning urug‘lari joylashgan savatida logarifmik spirallarning5 ikki oilasini kuzatish mumkin. Bu oilalardan
tomonlari uzunliklarining nisbati   1  5  1,618 songa yaqin bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak inson ko‘ziga
un 1
n  u
lim un  5  1   .
Hayratlanarlisi shuki, Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida kutilmaganda namoyon bo‘lishadi. Masalan, ular kungaboqarning urug‘lari joylashgan “savat”ida osonlik bilan sanab aniqlash mum- kin bo‘lgan spirallar (aniqrog‘i spirallar yoylari) sonlari sifatida paydo bo‘ladi (2- shaklga qarang). Kunga-
2- shakl
birining spirallari aylanishi soat millari yo‘nalishida, ikkinchisiniki esa teskari yo‘nalishda bo‘ladi.
5 Logarifmik spiral, bu qutb koordinatalar tizimidagi tenglamasi   aek bo‘lgan egri chiziqdir, bunda a  0 ,       . Bu egri chiziq koordinatalar boshidan chiquvchi barcha nurlarni o‘zgarmas  burchak ostida kesib o‘tadi va k  ctg bo‘ladi.
11
Botanikada spirallar oilalarining bunday joylashishini fillotaksis6 deb atashadi. Oilalardagi spirallar son- lari Fibonachchi qatorida ketma-ket joylashgan ikkita Fibonachchi sonlaridan iborat bo‘lishadi. Ular kunga- boqar savatining kattaligiga qarab 34 va 55, yoki 55 va 89, yoki 89 va 144 bo‘lgan Fibonachchi sonlari juft- liklarini tashkil etishadi. Tabiatda, hattoki, spirallar sonlari 144 va 233 bo‘lgan ulkan kungaboqar savati ham uchraydi! Kungaboqar fillotaksisi va Fibonachchi sonlari orasidagi bu aloqani birinchi bo‘lib E. Lyuka e’lon qilgan edi.