Mavzu: fibonachchi sonlari reja: Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari

Mavzu: FIBONACHCHI SONLARI
Reja:
1. Fibonachchi sonlarining ta’rifi.
2. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari
3. Bine formulasi
“Fibonachchi sonlari” iborasi birinchi bo‘lib XIX asrda Eduard Lyuka2 tomonidan qiziqarli matemat-
pozitsion o‘nlik sanoq tizimi3 va nolni o‘rgangan edi. Fibonachchi “Liber abaci” (“Abak haqidagi kitob” –
2 Lyuka yoki Lukas (Lucas François Édouard Anatole, 1842-1891) – fransuz matematigi.
1. Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan
u1 , u2 , u3 ,..., un ,...
ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma-ketlikdagi elementlarning uchinchisidan boshlab har biri o‘zidan oldingi ikkita elementning yig‘indisiga teng, ya’ni un  un1  un2 ( n  3 ) bo‘lsin. Ravshanki, bu ketma-ketlikni tashkil qi-
lishda uning dastlabki ikkita hadi muhim bo‘lib, keyingi barcha hadlari rekurrent1 tenglik vositasida aniqla- nadi.
u1  u2  1 bo‘lganda yuqorida keltirilgan ketma-ketlik Fibonachchi qatori, uning hadlari esa Fibo- nachchi sonlari deb ataladi.
Tabiiyki, Fibonachchi qatoridagi Fibonachchi sonlarini aniqlash jarayoni cheksizdir. Fibonachchi son-
larining dastlabki 24tasi quyida keltirilgan:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657,
46368.
ikaga bag‘ishlab yozilngan asarda qo‘llanilgan. Fibonachchi (bu so‘z italyancha “filius Bonacci” so‘zlaridan qisqartirilib tuzilgan bo‘lib, Bonachchining o‘g‘li ma’nosini anglatadi) Italiyadagi Piza shahrida XII-XIII asrlarda yashagan Leonardo Pizanskiyning boshqacha ismidir (laqabidir). Bonachchi Italiya va Jazoirda savdo- sotiq bilan shug‘ullangan.
Leonardo boshlang‘ich ma’lumotni Jazoirda olgan bo‘lib, u o‘zining arab o‘qituvchilaridan hind
1202 yilda yozilgan bo‘lib, 1228 yildagi qo‘lyozma nusxasi saqlangan) nomli kitobida arifmetika va algebra bo‘yicha o‘z davrining deyarli barcha ma’lumotlarini bayon qilgan. Xususan, o‘sha kitobda hozir butun dun-
1 “Recurrens” lotincha so‘z bo‘lib, o‘ziga qaytaruvchi ma’nosini beradi.
3 Bu tizim haqidagi ma’lumot g‘arbga arablar orqali o‘tganligi sababli uni, ba’zan, yanglish ravishda, “arab pozitsion o‘nlik sanoq tizimi” deyishadi.
2
yoda ommabob hisoblangan “arab” raqamlari bayon qilingan. Qo‘lyozmaning (1228 yil) 123-124 sahifalarida uy quyonlarining ko‘payishi haqidagi quyidagi masala bayon qilingan.
“Bir kishi bir juft quyonni ko‘paytirish maqsadida saqlagan bo‘lsin. Quyonning tabiati shundayki, har bir juft quyon bir oyda boshqa bir juft quyonni dunyoga keltiradi va yangi paydo bo‘lgan juft quyonlar ikkinchi oydan boshlab nasl bera boshlaydilar. Bir yildan so‘ng dastlabki juft quyonlarning ko‘payishi natijasida necha
juft quyon vujudga keladi?”
Bu masalani yechish jarayonida Fibonachchi dastlabki yilning har bir oyi uchun quyonlar juftlari sonini aniqlagan. Bu sonlar 1- jadvalda keltirilgan. “Liber abaci”dan bu masala yechimi bayonining so‘nggi satrlarini keltiramiz: “...Oxirgi oyda tug‘ilgan yangi 144 juft quyonlar qo‘shilsa 377 juft quyon hosil bo‘ladi. Shuncha juft quyon bir yil davomida bir juft quyondan ko‘payar ekan”. Quyonlar haqidagi masalada uchragan sonlar Fibonachchi qatorining dastlabki sonlari ekanligi yaqqol ko‘rinib turibdi.
Fibonachchining o‘zi Fibonachchi qatorining xossalarini o‘rganish bilan shug‘ullanmagan deb hisoblashadi (har ehtimolga qarshi, bizgacha yetib kelgan bunday izlanishlar haqida ma’lumotlar yo‘qligini ta’kidlaymiz). XIX asr boshlarida Fibonachchi qatorining turli xossalariga bag‘ishlangan ilmiy ishlar soni “Fibonachchi quyonlari sonidek o‘sgan”.
3
1- jadval
O‘tgan oylar soni Tug‘ilgan juft quyonlar Jami juftlar
0 0 1
1 1 2
2 1 3
3 2 5
4 3 8
5 5 13
6 8 21
7 13 34
8 21 55
9 34 89
10 55 144
11 89 233
12 144 377
Eduard Lyuka ixtiyoriy u1 va u2 sonlardan boshlanuvchi hamda un  un1  un2 ( n  3 ) rekurrent tenglik bilan
aniqlanuvchi sonlar qatorini umumlashgan Fibonachchi qatori deb nomlagan.