Mavzu: fibonachchi sonlari reja: Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari
Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari
Download 296.14 Kb.
|
Fibonachchi sonlari
- Bu sahifa navigatsiya:
- 4- x o s s a .
- 7- x o s s a .
- 11- x o s s a .
- 12- x o s s a .
2. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari. Fibonachchi sonlari juda ko‘plab qiziqarli xossalarga ega.
Quyida bu xossalardan ba’zilarini keltiramiz. 1- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( un2 1)ga teng, ya’ni u1 u2 ... un un2 1. Haqiqatdan ham, Fibonachchi sonlarining ta’rifiga ko‘ra u1 u2 ... un (u3 u2 ) (u4 u3 ) ... (un1 un ) (un2 un1 ) un2 u2 un2 1 . ■ 2- x o s s a . Toq raqamli dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yigindisi u2 n ga teng, ya’ni u1 u3 u5 ... u2n1 u2n . 4 u1 u2 u3 u4 ... (1) un (1) un1 1 2 2 2 2 un unun un un1 un1 unun1 un1un u1 u2 ... un u1u2 u2u3 u1u2 Ravshanki, u1 u3 u5 ... u2n 1 u2 (u4 u2 ) (u6 u4 ) ... (u2n u2n2 ) u2n .■ 3- x o s s a . Juft raqamli dastlabki n ta Fibonachchi sonlarining yig‘indisi ( u2n1 1 )ga teng, ya’ni u2 u4 u6 ... u2n u2n1 1 . Bu xossani isbotlash uchun, 1- xossaga ko‘ra, u1 u2 ... u2n u2n2 1 tenglik o‘rinli ekanligini va 2-xossani hisobga olish kifoya: u2 u4 u6 ... u2n (u1 u2 u3 ... u2n ) (u1 u3 u5 ... u2n1 ) u2n2 1 u2n u2n2 u2n 1 u2n1 1 . ■ Yuqorida isbotlangan 1- va 2- xossalardan foydalanib, Fibonachchi sonlarining ishorasi almashuvchi qa- tori yig‘indisi haqidagi quyidagi xossasini ham isbotlash mumkin. 4- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlari uchun n1 n1 tenglik o‘rinlidir. 5- x o s s a . Dastlabki n ta Fibonachchi sonlari kvadratlarining yig‘indisi unun1 ga teng, ya’ni u1 u2 ... un unun1 . Haqiqatdan ham, Fibbonachi qatorining ta’rifiga ko‘ra u1 u1u2 bo‘ladi va birdan katta ixtiyoriy natural n son uchun 2 ( ) tenglik o‘rinlidir. Shuning uchun 2 2 2 ... unun1 un1un unun1 . ■ 5 2 1)n1 ( 2 2 21 k k 1 k 1 k k 1 k 1 uk uk uk 1 uk 1uk 1 uk uk 1 uk (uk uk 1 ) uk 1 (uk 1 uk ) (1) k 1 2 k 1 k 1 ( k 1)1 ( k 1)1 1 2 2 3 3 4 2n1 2n 2n 1 2 2 3 3 4 2n 2n1 2n1 6- x o s s a . Ixtiyoriy un Fibonachchi sonining kvadrati bilan un1un1 ko‘paytma orasidagi farq birga teng, ya’ni un un1un1 . Bu hossani matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. Baza: n 2 uchun u2 u1u3 1 1 2 1 (1) – tasdiq to‘g‘ri. Induksion o‘tish: bu xossa n k 2 uchun to‘g‘ri, ya’ni u 2 u u (1)k 1 yoki u 2 u u (1)k 1 bo‘lsin. Oxirgi tenglikning ikkala tomoniga uk uk 1 ifodani qo‘shsak 2 ( 1)k 1 tenglik va bu tenglikdan k 1 kelib chiqadi. Fibonachchi qatorining aniqlanishidan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz: uk uk 2 uk 1uk 1 (1) , uk 1 uk uk 2 (1) . Oxirgi tenglikning ikkala tomonini ( 1)ga ko‘paytirsak, u 2 u u (1)( k 1)1 tenglik hosil bo‘ladi. ■ Matematik induksiya usulini qo‘llab u1 , u2 ,... Fibonachchi sonlarining quyidagi 7–10- xossalarni ham is- botlash mumkin: 7- x o s s a . u u u u u u ... u u u 2 . 8- x o s s a . u u u u u u ... u u u 2 1 . 9- x o s s a . nu1 (n 1)u2 (n 2)u3 ... 2un 1 un un 4 (n 3) . 10- x o s s a . u1 2u2 3u3 ... nun nun2 un3 2 . Endi Fibonachchi sonlarining binomial koeffitsientlar (Paskal uchburchagi) bilan bog‘lanishini ifodalovchi xossani o‘rganamiz. 6 11- x o s s a . Fibonachchi soni un ( n N ) uchun tenglik o‘rinlidir. Cnk 1 k un 2 0 , C1k 1 Ck k k 0 u1 C0 1 k 2 0 C2k 1 C1k k k 0 u2 C1 1 un1 Cn Cnk , k k k C , k 1 nk 1 k k un Cn k 1 2 2 k k u u C k C k 1 C k C p 1 Cnk 1 Cn p 1 Cns 1 k p 1 s 1 1 n1 2 k 0 Bu xossani isbotlash uchun un ( n 1,2,... ) sonlardan tuzilgan u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketlikning Fibonachchi qa- tori bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Buning uchun esa 11 k 21 k 0 k 0 ekanligini ta’kidlab, u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketlik uchun un1 un un1 ( n 2 ) rekurrent tenglikning bajarilishini ko‘rsatamiz. Agar n juft son ( n 2s , s N ) bo‘lsa, u holda n 2 s k 0 k 0 n1 2 s 1 0 k 0 n2 2 s 1 un Cn k Cn k k 0 k 0 tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan foydalanib, s 1 s 1 s 1 s n n1 nk 1 nk 2 nk 1 n p 1 k 0 k 0 k 1 p 1 s 1 s 1 k 1 p1 7 1 (Cnk 1 Cnk 1 ) Cn 1 k k 1 s 1 nk 1 nk 1 nk nk ns 1 nk 2 s s 1 C k C s 1 C k C s 1 u u 1 1 n n1 1 Cnk Cs 1 Cnk Cn k s 1 0 k s Cs k k s k n1 Yuqorida ta’kidlanganidek, tenglik Fibonachchi sonlari bilan Paskal uchburchagi orasida Cnk 1 k un 12- x o s s a . Fibonachchi soni un ( n N ) uchun tenglik o‘rinlidir. un 2 2 5 s 1 s k 1 munosobatlarni hosil qilamiz. Binomial koeffitsientlarning C k C k 1 C k xossasiga binoan s 1 s 1 k 1 k 1 s 1 s 1 k k 1 1 s 1 s Cn k Cn s Cn k u k 0 k 0 tengliklarga ega bo‘lamiz. n toq son bo‘lganda ham, yuqoridagidek mulohazalar yuritib, un1 un un1 ( n 2 ) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsatish mumkin. Demak, Fibonachchi qatorining ta’rifiga asosan, u1, u2 ,..., un ,... ketma-ketligi Fibonachchi qa- toridir. ■ n1 2 k 0 bog‘lanishni ifodalayi. 1- shaklda tasvirlangan Paskal uchburchagidagi shtrixli chiziqlar bo‘ylab joylashgan sonlar yig‘indisi Fibonachchi sonlarini tashkil etadi. 1 1 5 n 1 5 n 8 u5=1+3+1=5 u9=1+7+15+10+1=34 n=4 n=5 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 1 n 2 u1=1 u2=1 u3=1+1=2 n=0 1 u4=1+2=3 n=1 1 1 u6=1+4+3=8 n=2 1 2 1 u7=1+5+6+1=13 n=3 1 3 3 1 u8=1+6+10+4=21 ................................... n=6 1 6 15 20 15 6 1 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 .......................................……….......... 1- shakl Bu xossani isbotlash maqsadida, avvalo, haqiqiy son uchun 2 1 tenglik o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, 3 , 4 , 5 , 6 va hokazo darajalarni orqali ifodalaymiz: 3 2 (1 ) 1 2 , 4 3 (1 2 ) 2 3 , 5 4 (2 3 ) 3 5 , 6 5 (3 5 ) 5 8 va hokazo. Bu ifodalardan ko‘rinib turibdiki, ulardagi ozod hadlar ham, ning koeffitsientlari ham Fibonachchi sonlari- dan iboratdir. Matematik induksiya usulidan foydalanib, agar un Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda ixtiyoriy n 2 natural sonlar uchun un 1 un formulaning to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, n 2 bo‘lganda u1 u2 1 tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni baza bajarildi. 9 k 1 (uk 1 uk ) uk 1 uk k 1 n n 1 2 n 1 n 2 2 1 un 1 un1, 2 un 1 un2 . Induksion o‘tish: n k bo‘lgan hol uchun uk uk formula to‘g‘ri bo‘lsin. U holda n k 1 bo‘lganda quyidagi tengliklarni hosil qilamiz: k 1 k 2 uk 1 uk (1 ) uk 1 uk uk uk (uk 1 uk ) uk uk 1 . Demak, uk uk 1 . Shunday qilib, 2 1 va ixtiyoriy n 2 natural sonlar uchun u Fibonachchi soni bo‘lsa, u holda un 1 un formula to‘g‘ri ekanligi isbotlandi. Endi 2 1 tenglikni kvadrat tenglama sifatida qarab, uning biri musbat, ikkinchisi manfiy ikkita 1 5 va 1 5 ildizlarini topamiz. n u u formulaga ko‘ra, n n Bu tengliklarni un1 va un noma’lumlarga nisbatan tenglamalar sistemasi deb qaraymiz va uni hal qilib, 12- xos- saning isbotiga ega bo‘lamiz. ■ Shunisi ajoyibki, 12- xossaga binoan, butun qiymatli un son irratsional sonlardan iborat bo‘lgan kvadrat ildizlar orqali ifodalanmoqda. 12- xossani ifodalovchi tenglik Bine4 formulasi deb ataladi. Kesmani bo‘laklarga bo‘lishda oltin kesim tushunchasini eslaylik. Berilgan kesmaning oltin kesimi deb uni shunday ikki qismga ajratish tushuniladiki, bu yerda butun kesma uzunligining katta qism uzunligiga nis- bati va katta qism uzunligining kichik qism uzunligiga nisbati o‘zaro tengdir. Bu nisbatning qiymati 1 ga teng bo‘lishini aniqlash qiyin emas. “Oltin kesim” iborasining mazmuni shu bilan ham tasdiqlanadiki, masalan, 4 Bine (Binet Jak-Filipp, 1786-1857) – fransuz matematigi va astronomi. 10 1 2 yoqimli bo‘lib ko‘rinishi qadim zamonlardayoq ma’lum bo‘lgan. Yana shunisi ham qiziqarliki, lim 1 , n 2 n un 1 2 boqarning urug‘lari joylashgan savatida logarifmik spirallarning5 ikki oilasini kuzatish mumkin. Bu oilalardan tomonlari uzunliklarining nisbati 1 5 1,618 songa yaqin bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak inson ko‘ziga un 1 n u lim un 5 1 . Hayratlanarlisi shuki, Fibonachchi sonlari tabiatning turli narsa va hodisalarida kutilmaganda namoyon bo‘lishadi. Masalan, ular kungaboqarning urug‘lari joylashgan “savat”ida osonlik bilan sanab aniqlash mum- kin bo‘lgan spirallar (aniqrog‘i spirallar yoylari) sonlari sifatida paydo bo‘ladi (2- shaklga qarang). Kunga- 2- shakl birining spirallari aylanishi soat millari yo‘nalishida, ikkinchisiniki esa teskari yo‘nalishda bo‘ladi. 5 Logarifmik spiral, bu qutb koordinatalar tizimidagi tenglamasi aek bo‘lgan egri chiziqdir, bunda a 0 , . Bu egri chiziq koordinatalar boshidan chiquvchi barcha nurlarni o‘zgarmas burchak ostida kesib o‘tadi va k ctg bo‘ladi. 11 Botanikada spirallar oilalarining bunday joylashishini fillotaksis6 deb atashadi. Oilalardagi spirallar son- lari Fibonachchi qatorida ketma-ket joylashgan ikkita Fibonachchi sonlaridan iborat bo‘lishadi. Ular kunga- boqar savatining kattaligiga qarab 34 va 55, yoki 55 va 89, yoki 89 va 144 bo‘lgan Fibonachchi sonlari juft- liklarini tashkil etishadi. Tabiatda, hattoki, spirallar sonlari 144 va 233 bo‘lgan ulkan kungaboqar savati ham uchraydi! Kungaboqar fillotaksisi va Fibonachchi sonlari orasidagi bu aloqani birinchi bo‘lib E. Lyuka e’lon qilgan edi. Download 296.14 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling