Mavzu: fibonachchi sonlari reja: Fibonachchi sonlarining ta’rifi. Fibonachchi sonlarining oddiy xossalari

1- m i s o l . Elementlari 0 va 1 raqamlaridan iborat bo‘lib, ikkita 1 raqami yonma-yon joylashmydigan
kortejlarni qaraymiz. Shunday tartibda tuziladigan n uzunlikka ega barcha kortejlar soni cn Fibonachchi qato-
rining ( n  2 )- hadiga tengligini, ya’ni cn  un2 tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Buning uchun matematik induksiya usulidan foydalanaymiz. Matematik induksiya usulining bazasi sifat- ida n  1 bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda misol shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita (  0  va  1  ) kortejlar
tuzish mumkin, ya’ni c1  2 . Fibonachchi qatorining tuzilishiga asosan n  1 bo‘lgan hol uchun un2  u12  u3  2 .
Demak, n  1 bo‘lganda cn  un2 tasdiq to‘g‘ri.
Induksion o‘tish: n  k bo‘lganda misol shartlarini qanoatlantiruvchi kortejlar soni uchun isbotlanayotgan
tenglik o‘rinli bo‘lsin, ya’ni ck  uk 2 . Bu tenglikning n  k 1 uchun ham to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. Ravshanki,
uzunligi n  k 1 bo‘lgan barcha kortejlarni, tuzilishiga ko‘ra, ikki guruhga quyidagicha ajratish mumkin.
Birinchi guruhga talab qilingan shartlar asosida tuzilgan va uzunligi k ga teng kortejlarning har biriga
o‘ng tomondan 0 raqamini joylashtirish usuli bilan hosil qilingan kortejlarni kiritamiz. Shuning uchun, birinchi guruhdagi kortejlar soni uzunligi k ga teng kortejlar soniga teng. Bu yerda induksiya farazini hisobga olsak bi-
rinchi guruhda uk  2 ta kortejlar bor degan xulosaga kelamiz.
Ikkinchi guruhga oxirgi elementi 1 raqamidan iborat bo‘lgan kortejlarni kiritamiz. Kortejlarni tuzishning misolda talab qilinayotgan shartiga ko‘ra ikkinchi guruhdagi har bir kortejda oxirgi 1 raqamidan oldin faqat 0 raqami joylashishi mumkinligi kelib chiqadi. Shuning uchun, ikkinchi guruhdagi kortejlarni uzunligi ( k 1 )ga
6 Grek tilida bu so‘z bargning tuzilishi ma’nosini beradi.
12
taroshlikda, suv saqlashga mo‘ljallangan xum idishlarni yasashda foydalana bilishgan. 1854 yilda A. Seyzing7
teng bo‘lgan va talab qilingan shartlar asosida tuzilgan kortejlarning har biriga o‘ng tomondan 0, 1 raqamlarini (aynan shu tartibda) joylashtirib hosil qilish mumkin. Demak, induksion farazni hisobga olsak, ikkinchi guruhdagi kortejlar soni uk 1 bo‘ladi.
Shunday qilib, k  1 uzunlikka ega barcha kortejlar soni ck 1  uk 1  uk 2 . Fibonachchi qatorining aniqlanishi-
ga ko‘ra, uk 1  uk 2  uk 3 . Bu yerdan ck 1  uk 3  u( k 1)2 . ■