Mavzu. Funksiya limiti reja: To‘plamning limit nuqtasi. Funksiya limiti ta’riflari va ekvivalentligi

6-ta’rif.  Agar son olinganda ham shunday topilsaki, uchun



tengsizlik bajarilsa, soni funksiyaning dagi limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

4-misol. Aytaylik, , , bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.

 Haqiqatan ham, sonnni olaylik. Ravshanki, uchun

.

Demak, deyilsa, unda uchun

bo‘ladi.

 Koshi ta’rifiga ko‘ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin:

Unda

Bo‘lganda

(1)

bo‘ladi. nuqta to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra ketma-ketlik topiladiki, da bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan

(2)

bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.

Endi soni Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin.

Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da

bo‘ladi.

Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {} ni olaylik:

 da .

U holda

(3)

bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan

bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘ladi.

Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.

7-ta’rif.  Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi chap limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning o‘ng limit nuqtasi bo‘lib,

bo‘lsin.

8-ta’rif.  Agar

bo‘lsa, son funksiyaning nuqtadagi o‘ng limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.

Masalan,

funksiyaning 0 nuqtadagi o‘ng limiti 1, chap limiti –1 bo‘ladi.