Mavzu: Gilbert fazosi va uning xossalari. Gilbert fazolarida Fure qatorlariga yoyish. 1-ta’rif

1-ta’rif. (1) funksiyalar sistemasi bilan funksiyaning Skalyar ko‘paytmasi bo‘lgan son
(4)
Fur’e koeffitsienti deyiladi.
1-misol. (5)
dagi Fur’e koeffitsienti
(6)
Bunga mos Fur’e qatori esa
(7)
bunda
(8)
Fur’e qatori, esa qismiy yig‘indi bo‘lsin.
1-teorema. (1) funksiyalar sistemasi va uchun
(9)
va
(10)
Fur’e koeffitsienti, son bo‘lsin. U xolda
(11)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. va ekanidan foydalanamiz.
(12)
ekanidan va - o‘zining eng kichik qiymatiga da erishadi.
(13)
(12) va (13) dan ko‘rinadiki, agar bo‘lsa , bo‘lganda esa bo‘ladi.
ekanidan (13) dan kelib chiqadi, bundan esa quyidagi teoremani isboti kelib chiqadi.
2-teorema. (1) funksiyalarning ortonormal sistemasi va uchun Fur’e koeffitsientli qator yaqinlashuvchi va
(14)
va (14) Bessel tengsizligi deyiladi.
Bundan ko‘rinadiki barcha qismiy yig‘indilar yuqori bilan chegaralangan va yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Bu bilan quyidagi teoremani isbot qildik:
3-teorema. Ixtiyoriy funksiya uchun, bu funksiyaning ortonormal funksiyalar orqali yoyilmasining Fur’e koeffitsientlarini kvadratidan tuzilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi, bundan tashqari, quyidagi Bessel tengsizligi o‘rinli bo‘ladi .
4-teorema. Agar (1) ortonormalfunksiyalar sistemasi dan va bo‘lsa bu funksiyalarning Fure qatori da yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar bo‘lsa (12) dan
kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa (13) dan yoki
(15)