Mavzu: Giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari va ularning tadbiqi. Giperbola

Mavzu: Giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari va ularning tadbiqi.
1. Giperbola.
Ta’rif. Ixtiyoriy nuqtasidan fokus deb ataluvchi berilgan ikki F₁ va F₂ nuqtagacha bo'lgan masofalar ayirmasining absolut qiymati o’zgarmas miqdor 2a teng bo‘lgan teicislikdagi barcha nuqtalar to‘plamiga giperbola deyiladi.
0 ‘zgarmas miqdor 2a fokuslar orasidagi masofadan kichik deb olinadi.
Giperbola tenglamasini keltirib chiqarish uchun belgilashlarni,chizmani oldingi ellips tenglamasiga o‘xshash qilib olamiz. Giperbola
ta’rifiga ko‘ra ||F₁, M|-|F₂ , M|| yoki √(x-c²) + y² - √(х + с²)+y² = 2a. Ildizlarni yo'qotgandan keyin quyidagi tenglamaga ega boMamiz.
(Ildizlarni yo'qotish ixchamlash va soddalashtirish ham oldingi mavzudagidek bajariladi):
1 (*)
Ta’rifga ko‘ra c> a, shuning uchun c²-a² miqdor musbat boMadi. c²-a² ifodani bilan belgilaymiz, ya’ni c²-a²=b². U holda (*) tenglama
1 (8)
ko'rinishni oladi. Bu tenglamaga giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Giperbolaning (8) tenglamasiga ko'ra shaklini aniqlaymiz. Buning uchun giperbola tenglamasidan ham ellips tenglamasi ustida olib borilgan muhokamalarni takrorlab, giperbolaning tarmoqlari koordinatalar boshi va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikligi aniqlanadi. Giperbola Ox o'qni A₁{a, 0) va A₂{-a, 0) nuqtalarda kesadi (40-chizma). (8) tenglama bilan aniqlangan giperbola Oy o'q bilan kesishmaydi. Haqiqatan, (8) tenglamaga x = 0 ni qo'ysak, y² =b² bo'ladi, holbuki bu tenglik haqiqiy sonlar sohasida o'rinli bo'lmaydi. A¹, A² nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi. Giperbolaning uchlari orasidagi 2a masofa uning haqiqiy o ‘qi deyiladi.

Ordinatalar o'qida 0 dan b masofada turuvchi B₁(0; b) va B₂(0;b) nuqtalarni belgilaymiz.

|B₁ B₂ |= 2b ni giperbolaning mavhum o ‘qi deyiladi. Agar M{x, y) nuqta giperbolada yotsa, uning uchun (8) tenglamadan | x |≥a , demak, x = + a to‘g ‘ ri chiziqlar bilanchegaralangan
-a< x< a oraliqda giperbolaning nuqtalari yo‘q. (8) tenglamani у ga nisbatan yechamiz:

y = ± (9)

Bu tenglamadan ko'rinadiki, x miqdor a dan +∞ gacha ortganda va - a dan ∞ gacha kamayganda, у miqdor -∞x >a yarim tekislikda, ikkinchi (chap) tarmog'i x < - a yarim tekislikda joylashgan.
Agar giperbolaning fokuslari ordinatalar o'qida joylashgan bo'lsa, uning kanonik tenglamasi
1 (10)
ko'rinishda bo'ladi. Giperbola asimptotalarga ega. Agar tekis chiziqning nuqtasi shu chiziq bo'ylab harakatlanib borganida, uning d to'g'ri chiziqqacha bo'lgan masofasi nolga intilsa, d to'g'ri chiziq egri chiziqning asimptotasi deyiladi.
y = x y =- x to'g'ri c h i z i q l a r 1 giperbolaning asimptotalaridir (40-chizma).
Yarim o 'q la r i teng b o 'lg an g ipe rbo la teng tomonli deb
1 ataladi tenglamada a = b bo'lganda: x² –y² = b. (11)
Teng tomonli giperbola asimptotalarining tenglamalari у =x, y=-x ko'rinishda bo'lib, ular o'zaro perpendikular bo'ladi. Bu asimptotalarni yangi koordinata o'qlari sifatida qabul qilsak, teng tomonli giperbola tenglamasi o'rta maktab kursida ko'riladigan ixcham xy = a ko'rinishni oladi.
Giperbolaning fokuslari orasidagi masofani haqiqiy o'qining
uzunligiga nisbati giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi va ellipsdagidek e harfi bilan belgilanadi:
e= x
Giperbolada c>a=>e>1 ekssentrisitet uning shaklini aniqlashda muhim rol o'ynaydi. Haqiqatan ham, e = c/a dan с = ea, buni b²=c²-a² ga qo'ysak, b²= a²(e²-l) yoki =√e² -1 bo'lib, bundan
ko'rinadiki, ekssentrisitet e qanchalik kichik, ya’ni e=>1 bo'lsa, b/a shunchalik kichik, b/a→0
ya’ni giperbola o'zining haqiqiy o'qiga siqilgan bo'ladi, aksincha, e kattalashib borsa, b/a ham kattalashib, giperbola tarmoqlari kengayib boradi.
1 - mi sol . Giperbolaning haqiqiy o'qi 18 ga, fokuslari orasidagi
masofa 24 ga teng bo'lsa, uning kanonik tenglamasini tuzing.
Ye c h i s h . Shartga ko'ra: 2a = 18=> a = 9 va 2c = 24=> c = 12.
Endi b² ni topish qoldi, b²=c²-a² = 63. Demak,
2-m i s о 1. giperbola tenglamasi berilgan. Giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o'qlarini, fokuslarini, ekssentrisitetini toping.
Y,e с h i s h. Berilgan tenglamada a² = 25, a = 5,b² = 16,b = 4,
demak, c²=a²+b² 25+ 16 = 41, bundan c = ±√41
F₁ (√41 ; 0 ) ;F₂ (-√41 ; 0 ) .
Endi e ni aniqlaymiz: e = =

3 - m i s o l . giperbolaning asimptota tenglamalarini tuzing.

Ye c h i s h . Berilgan tenglamada a² = 5, b² = 20, bundan a = √5 ,
b= 2√5 . Asimptota tenglamalari y = (b/a)x, y = -(b/a) x ko'rinishda edi.
Demak,
y = (2√5/√5)x yoki y = 2x va y = - (2√5/√5) x yoki y = -2x.

4-m 1 so 1. Giperbolaning tenglamasi berilgan. Bu giperbolaning

haqiqiy va mavhum yarim o'qlarini, fokuslarini, uchlarini,
asimptota tenglamalarini aniqiang.
Ye c h i s h . Tenglamaga ko‘ ra: a = 3, b =√7 ; c² = a² + b²
c = √9+7 = 4.
Giperbola fokuslari: F₁(4; 0); F₂ (-4; 0).
Giperbola uchlari: A₁(3; 0); A₂(-3; 0), B₁ (0; √7 ), B₂ (0; √7 )
Asimptota tenglamalari: y = (√7/3)x ; y = - (√7/3)x