Mavzu: Giperbola va parabolaning kanonik tenglamalari va ularning tadbiqi. Giperbola

2. Parabola.
Ta’rif. Ixtiyoriy nuqtasidan berilgan nuqtagacha va berilgan to‘g‘ri chiziqqacha bo'lgan masofalari o'zaro teng bo'lgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami parabola deyiladi. Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to'g'ri chiziq esa parabolaning direktrisasi deyiladi.
Parabolaning fokusini F, direktrisasini d bilan, fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofani p bilan belgilaymiz.
Parabola ta’rifidan foydalanib, uning kanonik tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun koordinatalar sistemasini tubandagicha kiritamiz. F nuqtadan o'tuvchi va d to'g'ri chiziqqa perpendicular bo'lgan to'g'ri chiziqni abssissalar o'qi deb qabul qilamiz.
Abssissalar o'qining d to'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi L bo'lsin. Ordinatalar o'qini [FL] kesmaning o'rtasidan o'tkazamiz (41-chizma).
Tanlangan koordinatalar sistemasiga nisbatan direktrisa x = - p/2 tenglamaga, F fokusi esa
( -p/2 ; 0) koordinatalarga ega bo'ladi.
Parabolaning ixtiyoriy nuqtasi M (x;y)
bo'lsin. M nuqtadan direktrisaga
tushirilgan perpendikularning asosini К
bilan belgilaylik. U holda parabolaning
ta’rifiga ko'ra: |KM| = |MF|. (*)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish
formulasidan foydalansak.
|KM|= √(x+p/2)² (**)
|MF|= √(x-p/2)²+y²
(*) va(**) => (x-p/2)²+y²=(x+p/2)²
qavslarni ochib ixchamlaymiz:
x²-px+p²/4+y²= x²+px+p²/4
yoki y² = 2px. (12)
(12) tenglama parabolaning kanonik
tenglamasi deyiladi. Parabola shaklini
uning (12) tenglamasiga ko‘ra tekshiramiz.
Y²≥ 0 va p>0 bo'lgani uchun, (12) tenglamada
x≥0 bo'lishi kerak. Bundan esa (12) tenglama
bilan ifodalanuvchi parabolaning barcha
nuqtalari o'ng yarim tekislikda joylashganligi
kelib chiqadi. X = 0 da (12)=> y = 0 bo'lib,
parabola koordinatalar boshidan o'tadi.
Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi.
x ning har bir x>0 qiymatiga у ning ishoralari qarama-qarshi, ammo absolut miqdorlari
teng bo'Igan ikki qiymati mos keladi. Bundan esa parabolaning Ox o'qqa nisbatan simmetrik joylashganligi ko'rinadi. Cbc o'qi simmetriya o'qi. (12) tenglamadan ko'rinadiki, x ortib borishi bilan |y| ham ortib boradi. Demak, yuqoridagi xossalarga ko'ra parabolaning shaklini
tasawur qilish mumkin (42-chizma). Agar parabola koordinatalar sistemasiga nisbatan 43-a, b, d chizmadagidek joylashgan bo'lsa, ularning tenglamalari mos ravishda
x² = 2py, y² = -2px, x² = -2py ko'rinishda bo'ladi.
Misol . x+4 = 0 to'g'ri chiziq va F (- 2 ; 0) nuqtadan bir xil
uzoqlikda joylashgan nuqtalar geometrik o'rnining tenglamasini tuzing.

43-chizma.

Ye c h i s h . К (х; у) nuqta biz izlayotgan geometrik o‘rinning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasigaasosan |FK|= √(x+2)² y² , masala shartiga ko‘ra x: + 4 = 0 to‘g‘ri chiziq K(x; y) nuqtadan|FK|= x +4 masofada bo’ladi. Shuning
uchun (√(x+2)² +y² )² = (x + 4)² yoki (x + 2)² + y² =x² + 8x + 16=> y ²- 4x + 12 = 0
yoki y= 4x + 12; x = (1/4)y -3 .
Bu esa Ox o'qiga nisbatan simmetrik bo’lgan parabola tenglamasidir.