Mavzu: Ikki karrali integralni hisoblash Toʻgʻri toʻrtburchak toʻplam boʻyicha ikki karrali integralni hisoblash. Egri chiziqli trapetsiya boʻyicha ikki karrali integrallarni hisoblash Reja

1-§.Ikki karrali integral va uni hisoblash.
funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
1-teorema. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va chekli bo‘lsa, u holda

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
Isbot. sohani
bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo‘linishni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan, demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo‘ladi.

Ravshanki, uchun , xususan uchun ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:

ya’ni

Agar keyingi tengsizliklarni ning qiymatlarida yozib, ularni hadlab qo‘shsak, u holda

ya’ni

bo‘ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko‘paytirib, so‘ng hadlab qo‘shamiz. Natijada

bo‘ladi.
Ravshanki,

funksiya uchun Darbuning quyi yig‘indisi,

esa Darbuning yuqori yig‘indisidir. Demak,
. (1)
Shartga ko‘ra funksiya da integrallanuvchi. U holda da

bo‘ladi.

1. 
   munosabatdan esa,
   

yig‘indining limitga ega bo‘lishi va bu limit

ga teng bo‘lishi kelib chiqadi:
.
Agar

va

ekanligini e‘tiborga olsak,unda

bo‘lishini topamiz. Bu esa teoreman isbotlaydi.
2-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.