Mavzu: Ikki oʻlchovli integrallarni hisoblash geometrik va mexanik manosi. Ikki olchovli integrallarning geometriya va mexanikaga tadbiqlariga doir mashqlar

Mavzu: Ikki oʻlchovli integrallarni hisoblash geometrik va mexanik manosi. Ikki olchovli integrallarning geometriya va mexanikaga tadbiqlariga doir mashqlar

Reja:
1. Ikki oʻlchovli integral, uning xossalari, geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash.

2. Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi, ularning xossalari va ularni hisoblash.
3. Ikki olchovli integrallarning geometriya va mexanikaga tadbiqlariga doir mashqlar

1. Ikki oʻlchovli integral, uning xossalari, geometrik ,mexanik ma’nosi.Ikki oʻlchovli integralni hisoblash.

Rimanning karrali integrallar nazariyasi fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. bo‘lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo‘lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz. Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda

1.
Quyidagi funksiyaning soha uchun integral yig‘indisinituzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.

Ta’rif. Agar (1) integral yig‘indining 0 ga intilgandagi limiti mavjud bo‘lib, u chekli songa teng bo‘lsa hamda uning qiymati sohaning bo‘linish usuliga va nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda o‘sha son funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integrali(Riman ma’nosidagi integrali) deyiladi va u
Yoki kabi belgilanadi. funksiya sohadaintegrallanuvchideyiladi. Aks holda funkтsiya sohada integrallanuvchi emas deyiladi.
Shunday qilib,
(2) Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz.
Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin.
2. Skalyar maydon. Skalyar maydonning sath chiziqlari, yoʻnalish boʻyicha hosila, gradiyent.
Skalyar kattalik o‘zining son qiymati bilan to‘la ifodalanadi (masalan, hajm, massa, zichlik, harorat va hokazolar).
Ta’rif. Fazoning biror qismi (yoki butun fazoning) har bir nuqtasida biror skalyar miqdorning son qiymatianiqlangan bo‘lsa, bu miqdorning skalyar maydoni berilgan deyiladi. Masalan, harorat maydoni, birjinslimas muhitda zichlik maydoni kuch maydon potensiali. Agar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasa, bu kattalik statsionar (yoki barqaror bo‘lmagan) maydon deyiladi. Biz faqat statsionar maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib, skalyar kattalik vaqtga bog‘liq bo‘lmasdan, balki faqat nuqtaning fazodagi o‘rniga bog‘liq bo‘ladi, ya’ni kattalik nuqtaning fazodagi funksiyasi sifatida qaraladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bu funksiyani maydon funksiyasi deb ataymiz. Agar fazoda koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi.
Shunday qilib, biz uch o‘zgaruvchili funksiyaning fizik talqiniga keldik.
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish mumkin uning har bir nuqtasiga skalyar kattalikning son qiymati mos keladi, ya’ni . Agar tekislikning koordinatalar sistemasi kiritilsa, u holda har bir nuqta ma’lum koordinatalarga ega bo‘ladi va skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo‘ladi: .
Oksi tekisligida joylashgan D yupqa material plitasini ko’rib shiqaylik.
Ushbu plastinkaning S maydonini quyidagi formula yordamida ikki tomonlama integral yordamida topish mumkin

­ ­ ­

(1)

Plastinkaning har bir nuqtasida uning sirt zichligi g=g (x,y)>0 berilgan bo’lsin . Biz g=g (x,y)>0 funksiya D sohada uzluksiz deb faraz qilamiz. U holda bu Plastinkaning massasi m.g(x,y) zichlik funksiyaning D maydon bo’yicha qo’sh Integraliga teng:

­ ­ ­

(2)

Statik elementlar

Yassi plastinkaning massa markazi Oxy tekisligida yotgan va
Massasi m bo’lgan moddiy nuqta P(x,y) Ox o’qi atrofida statik
moment Mx nuqta massasi va uning ordinatasining ko’paytmasi,
ya’ni, Mx=mening . Oy o’qi bo’yicha My statik moment ham xuddi
shunday aniqlanadi : My=mx . sirt zichligi g=g(x,y) bo’lgan tekis
plastinkaning statik momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

­ ­ ­

(3)

­ ­ ­

(4)

Mexanikadan ma’lumki , tekis material sistemasining massalar markazining X_C , y_c koordinatalari tenglik bilan aniqlanadi:
:

­ ­ ­

(5)

Bu yerda m-tizimning massasi , Mx va My- tizimning statik momentlari . Yassi plastinkaning massasi m(1) formula bilan aniqlanadi , tekis plastinkaning Statik momentlar (3) va (4) formulalar yordamida hisoblanishi . Keyin (5) formulalarga muvofiq , biz tekis plastinkaning massa Markazining koordinatalarini ifodalaymiz:

­ ­ ­

(6)

Odatdagi hisob –kitobning mazmuni Oddiy hisoblash ikkita vazifani
O’z ichiga oladi. Har bir masalada muammo bayonida ko’rsatilgan chiziqlar
Bilan chegaralangan D tekis plastinka beriladi. G(x,y) - plastinkaning sirt
Zichligi D.Bu plastinka uchun toping :
1.S-maydon ;2.m-massa;3.My,Mx-mos ravishda Oy va Ox o’qlari haqida
statik momentlar;4. X,y - massa markazining koordinatalari .
Odatdagi hisoblashni qanday bajarish kerak
Har bir masalani yechishda: 1. Berilgan maydonning chizmasini tuzish
Kerak. Ikki tomonlama integrallar hisoblab chiqiladigan koordinatalar
Tizimini tanlang.2.Tanlangan koordinatalar sistemasidagi tengsizliklar
Sistemasi sifatida maydonni yozing .3.(1)va (2) formulalar yordamida
Plastinkaning maydoni S va massasi m ni hisoblang.4. (3)va (4) formulalar
Yordamida My,Mx statik momentlarini hisoblang.5.Massalar x, y markazining
Koordinatalarini formulalar bo’yicha hisoblang.(6). Massa markazi chizmaga qo’ying .
Bunday holda, olingan natijalarning visual nazorati mavjud.
Raqamli javoblar uchta muhim raqam bilan qabul qilinishi kerak.
4 Oddiy hisoblash misollari;
Masala 1.D plitasi chiziqlar bilan chegaralangan : y=4-x²; x=0; y=0;(x
Sirt zishligi y₀=0.
Masalada ko’rsatilgan maydon y=4-x² parabola, koordinata o’qlari bilan
Chegaralangan va birinchi chorakda yotadigan (1-rasm). Muammo Dekart
Koordinata tizimida hal qilinadi.

Ushbu soha tengsizliklari tizimi bilan tavsiflash mumkin:

1-rasm;
Plitaning S maydoniga teng; (1): 
Plastinka bir jinsli bo’lgani uchun uning massasi m = γ₀S = 3· = 16. .(3), (4)
formulalar yordamida biz statik momentlarni topamiz
plitalar:     Massa markazining koordinatalari formulalar bo’yicha topiladi. (6):  Javob: S ≈ 5,33; m = 16; M_x = 25,6; M_y = 12;  = 0,75;  = 1,6.