Mavzu: Ikki oʻlchovli integrallarni hisoblash geometrik va mexanik manosi. Ikki olchovli integrallarning geometriya va mexanikaga tadbiqlariga doir mashqlar

Решение: Когда порядок обхода задан вторым способом, то перед построением чертежа целесообразно перейти к «обычным» функциям. В данном примере присутствуют два пациента для преобразования:  и  .
С линейной функцией всё просто: 
График функции  представляется собой параболу с претензией на каноничность.
Выразим «игрек» через «икс»:

Получаем две ветви параболы:  и  . Какую из них выбрать? Проще всего сразу выполнить чертёж. И даже если вы крепко позабыли материал аналитической геометрии о параболе, то всё равно обе ветви можно построить поточечно:

Еще раз обращаю внимание на тот факт, что на данном чертеже получилось несколько плоских фигур, и очень важно выбрать нужную фигуру! В выборе искомой фигуры как раз помогут пределы интегрирования исходных интегралов:
, при этом не забывайте, что обратная функция  задаёт всю параболу.
Стрелочки, которыми обозначен обход фигуры, в точности соответствуют пределам интегрирования интегралов  .
Довольно быстро вы научитесь проводить такой анализ мысленно и находить нужную область интегрирования.
Когда фигура найдена, заключительная часть решения, в общем-то, очень проста, меняем порядок обхода области:

Обратные функции уже найдены, и требуемый порядок обхода области:

Ответ: 
Заключительный пример параграфа для самостоятельного решения:
Пример 8
Изменить порядок интегрирования

Полное решение и ответ в конце урока.

Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?
Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла  и знакомиться с его геометрическим смыслом.
Двойной интеграл  численно равен площади плоской фигуры  (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:  .
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  . Для определённости считаем, что  на отрезке  . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область  на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом: 
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.
1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула  – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла, там она на каждом шагу!
То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!
Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.
Пример 9
С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  ,