Mavzu: Ikki oʻlchovli integrallarni hisoblash geometrik va mexanik manosi. Ikki olchovli integrallarning geometriya va mexanikaga tadbiqlariga doir mashqlar

Masala 2. D plitasi chiziqlari bilan chegaralangan :
х² + у² = 4; х = 0, у = х ( х ≥ 0, у ≥ 0)..Sirt zichligi γ(x,y) = у. Qaror.Plastinka koordinatalaridan o’tuvchi aylana va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan (rasm. 2).Shuning uchun masalani hal qilish uchun qutbli koordinatalar tizimidan
foydalanish qulay. φ Qutb burchagi π/4 dan π/2 gacha o’zgaradi. Plitalar
orqali qutbdan chizilgan nur unga r=0 da “kirish” va aylanadan “chiqadi”
uning tenglamasi: х² + у² = 4 <=> ρ = 2.

2-rasm
Shuning ushun berilgan maydonni tengsizlik tizimi bilan yozish mumkin:
plastinka maydonni formula bo’yicha topamiz (1):  Plastinang massasini (2) formula bo’yicha topamiz o’rnini bosamiz γ(x,y) = у = ρ sinφ:  plasinaning static momentlarini hisoblash uchun (3) va formulalardan foydalaning (4): 

Biz (6) formulalar yordamida massa markazining koordinatalarini olamiz: Javob : S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M_x =

2,57; M_y = 1;  = 0,53;  = 1,36.
Ikki tomonlama integral tushunchasi;

Ikki tomonlama integral umumiy shaklda quyidagicha yoziladi::

Biz atamalar va belgilarni tushunamiz :
– ikki tomonlama integral belgisi ;
– integratsiya maydoni (tekis shakli);
– ikkita o’zgaruvchining integral funktsiyasi ko’pincha bu juda oddiy;
– differentsial belgilar..
Ikki tomonlama integralni hisoblash nimani anglatadi?
IKKi tomonlama integralni hisoblash raqamni topishni anglatadi/ Eng katta
Tarqalgan raqam :


Va uni to’g’ri topish juda tavsiya etiladi.
Natija(salbiy) bo’lishi mumkin . Va nol ham osonlikcha chiqishi mumkin.
Men aynan shu daqiqa to’xtadim , chunki javob “g’alati” bo’lip chiqqanda
, ko’plab talabalar xavotirga tushishadi.
Ko’pchilik “oddiy” aniq integral ham raqam ekanligini eslaydi. Bu yerda
Hamma narsa bir xil .IKKala integral ham ajoyib geometric ma’noga ega.
Ikki tomonlama integralni hisoblash uchun uni takroriy integrallarga
Kamaytirish kerak . buni ikki yo’l bilan qilashimiz mumkin .Quyidagi usul
keng tarqalgan :

Savol belgilari o’rniga integratsiya chegaralarini belgilash kerak .
Bundan tashqari tashqi integralning bitta ? belgilari raqamlar
Ichki integralning ikkita ?? belgilari esa “x” ga bog’liq bo’lgan
Bitta o’zgaruvchining y=f(x) funktsiyalari
Integratsiya chegaralarini qayerdan olish mumkin?
Ular muammoli hududning holatiga bog'liq
Maydon oddiy tekis figura bo'lib, siz bir necha marta duch kelgansiz, masalan,
tekislik figurasining maydonini hisoblashda yoki inqilob jismining hajmini hisoblashda
Tez orada siz integratsiya chegaralarini to‘g‘ri belgilashni o‘rganadi

Takrorlangan integrallarga o'tish amalga oshirilgandan so'ng, amal qiling

To'g'ridan-to'g'ri gurkirab, ichki integral olinadi, keyin esa tashqi. Birin-ketin. Shunday qilib, takrorlangan integrallar nomini oldi.

Taxminan aytganda, muammo ikkita aniq integralni hisoblashga tushiriladi

Ko'rib turganingizdek, agar siz bardosh bera olsangiz, hamma narsa unchalik qiyin emas

непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл  , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, задача сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!
Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции  , зависящие от «игрек».
Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам, окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.