Mavzu: Integrallarni taqribiy yechish

n da Е_п ning tartibi bilan yig`indining chegaralanganligi uzviy bog`liqdir. Shu munosabat bilan, quyidagi ta`rifni kiritamiz.
Ta`rif. Agar shunday M soni topilsaki, bo`lganda barcha
п р uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda (12.5) formula dastlabki qiymatlarning _i (i р) xatolariga nisbatan turg`un deyiladi.
Endi turg`unlik kriteriysini keltiramiz.
1-teorema. (12.5) formula dastlabki xatolar _i (i р)ga nisbatan turg`un bo`lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir:
1)
tenglamaning _к ildizlari orasida moduli bo`yicha birdan kattasi mavjud emas;
2) moduli birga teng bo`lgan ildizlar tubdir.
Isbot. Oldingi paragrafdan ma`lumki (12.10) bir jinsli o`zgarmas koeffisiyentli chiziqli ayirmali tenglamaning umumiy yechimi

(p + 1) - darajali algebraik tenglamaning ildizlari orqali aniqlanadi.
Tenglamaning ildizlarini ₁, ₂, ..., _т va ularning karralarini k₁ ,k₂, ..., k_т orqali belgilasak, u holda funksiyalar L( _n)=0 bir jinsli tenglama yechimlarining fundamental sistemasini tashkil etadi. Tenglamaning ixtiyoriy yechimi ularning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo`ladi.
I kkinchi tomondan, dastlabki qiymatlarning ta`sir funksiyasi ham fundamental sistemani tashkil etadi va bu sistema yechimlardan maxsusmas matritsali chiziqli almashtirish yordamida hosil bo`ladi.
Ushbu yig`indining chegaralanganligi funksiyalarning chegaralanganliklari bilan va demak barcha n uchun yechimlarning chegaralanganliklari bilan teng kuchlidir. Bu esa _i lar modullari bo`yicha birdan katta bo`lmagandagina yoki | _i | = 1 holda esa к _i = 1 bo`lgandagina o`rinlidir. Shu bilan teorema isbotlandi.
Endi Е ni tekshiramiz. Agar barcha qadam uchun _n larning yuqori chegarasi bo`lsa, ya`ni u holda (12.14) ga ko`rа
(12.15)
bo`ladi. Agar _n, shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarni qabul qiladi deb faraz qilsa, u holda oxirgi baho aniq bo`lib, п = N va
bo`lganda tenglikka erishiladi.
Ko`rinib turibdiki, h 0 da N cheksiz ortib boradi.
Endi L( ) = 0 bir jinsli tenglamaning yechimlari bo`lgan ushbu
(12.16)
sistemani qaraymiz. Bu yerda Г⁽_р^р) = 1 ni hisobga olsak, u holda quyidagi matritsa

п = 1,2, ..., р uchun (12.16) sistemaning qiymatlarini tasvirlaydi. Bu matritsaning determinanti noldan far qli. Shuning uchun ham (12.16) sistema fundamental sistema bo`lib, u va demak yechimlardan maxsusmas chiziqli almashtirish yordamida hosil bo`ladi. Ularning chegaralanganligi Г va funksiyalarning chegaralanganligi bilan teng kuchlidir.
Ta`rif. Agar h ga bog`liq bo`lmagan shunday М<sub>1</sub> soni mavjud bo`lib, barcha N > р uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda (12.5) hisoblash formulasi _n yaxlitlash xatolariga nisbatan turg`un deyiladi.
2-teorema. (12.5) hisoblash formulasining <sub>n</sub> yaxlitlash xatolariga nisbatan turg`un bo`lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi yetarlidir:
1)
tenglama moduli bo`yicha birdan katta ildizga ega emas va
2) moduli birga teng bo`lgan ildizlar tubdir.
Isbot. Haqiqatan ham, teorema shartlari bajarilganda yechimlar,ular bilan birgalikda esa ta`sir funksiyalari chegaralangan bo`ladi, xususiy holda . Bundan va (12.15) tengsizlikdan teorema tasdig`i kelib chiqadi.
Shunday qilib, у_i(i р) dastlabki qiymatlarni aniqroq hisoblash va _п yaxlitlash xatolarini kamaytirish yo`li bilan bo`lganda doimo

bo`lishiga erishish mumkin. Bundan biz quyidagini aytishimiz mumkin: agar h 0 da bo`lsa, u holda (12.5) formula shubqasiz tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
Faraz qilaylik, r=r(h) barcha п (р п N - 1) uchun xato absolyut qiymatining yuqori chegarasi bo`lsin: | r_п\ r. U holda

va
(12.17)
Bundan quyidagiga ega bo`lamiz.
3-teorema. Agar h 0 bo`lganda bo`lsa, u holda (12.5) formula tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
4-teorema. Agar tenglamaning modul bo`yicha birdan katta ildizi mavjud bo`lmasa va moduli birga teng bo`lgan ildizi tub bo`lsa, u holda h 0 bo`lganda bo`lsa, (12.5) formula tekis yaqinlashuvchi hisoblash jarayoniga yo`l qo`yadi.
Isbot. Biz yuqorida ko`rganimizdek teorema shartlari bajarilganda, shunday М₁ soni topiladiki, barcha к р uchun bo`ladi va (12.17)dan quyidagi bahoga ega bo`lamiz:

Bundan esa teorema tasdig`i kelib chiqadi.
5-teorema. Agar bo`lsa, u holda (12.5) formula dastlabki xatolarga nisbatan turg`un bo`ladi.
Isbot. (12.5) formulaga mos keluvchi bir jinsli tenglamani
qaraymiz. Bu yerdan

Bu bahoni bir necha marta qo`llash bilan barcha n lar uchun tengsizlikning o`rinli ekanligini ko`ramiz. Boshqacha aytganda, bir jinsli tenglama yechimining barcha qiymatlari у<sub>0</sub>, y<sub>v</sub> ..., у<sub>r</sub> dastlabki qiymatlarning moduli bo` yicha eng kattasidan ortmaydi. Bundan ko`rinadiki, dastlabki qiymatlarning barcha ta`sir funksiyalari modullari bo`yicha birdan ortmaydi:

Bundan esa, yuqorida ko`rganimizdek

tenglamaning ildizlari orasida modullari bo`yicha birdan kattasi mavjud emasligi va modullari bo`yicha birga tenglarining tub ekanliklari kelib chiqadi. Bu yerdan esa teorema tasdig`i 1-teoremadan kelib chiqadi.
Endi (12.4) formulani tekshiramiz. Unga mos keluvchi у<sub>п+1</sub> = -4у<sub>n</sub> + 5у<sub>n-1</sub> bir jinsli tenglamani olaylik. Buning xarakteristik tenglamasi <sup>2</sup> + 4 - 5 = 0 bo`lib, ildizlari ₁= -5, ₂ = 1. Demak,