Mavzu: Kompleks sonlar va ular ustida amallar,hayotga tatbiqi

Mustaqil yechish uchun mashqlar

1. 
   а) z=3, b) z=2i, d) z=-2, e) z=-3i kompleks sonlar tekisligida vektor ko‟rinishida tasvirlansin hamda ularning modullari va argumentlari aniqlansin.
   
2. 
   Ushbu ifodalar trigonometrik shaklga keltirilsin:
   
   1. 
      1+i Javob: 2^_сos^ _isin^{ }_.
      

 4 4 

2. 
   1-i Javob: 2^_сos ^7_isin ^7_.
   

 4 4 

4. 
   –1+i Javob: 2^_сos ^3_isin ^3_.
   

 4 4 

4. 
   –1-i. Javob: 2^_сos ^5 _isin ^5_.
   

 4 4 

4. 
   3. Javob: 3(cos0+isin0).
   
5. 
   –4. Javob: 4(cos_+isin_).
   

3. 
   |i-1+2z|≥9 ni qanoatlantiruvchi z kompleks sonlar to‟plami kompleks tekisligida
   

nimani ifodalaydi? Javob: Markazi 0₁^_ ¹; ^1_ nuqtada va radiusi R=4,5 bo‟lgan
 2 2
aylanada va undan tashqarida yotgan nuqtalar to‟plamini ifodalaydi.

4. 
   z₁  23i va z₂  54i bo‟lsa z  2z₁ 3z₂ hisoblansin.
   

A) z 196i B) z 19  6i C) z  19 6i D) 13
5. z 43i kompleks songa o‟zaro qo‟shma kompleks sonni toping
A) 16 B) z 43i C) z 43i D) z 43i
6. z _{ }5_ 2i kompleks songa qarama-qarshi sonni ko‟psating.

A) z  5 2i B) z  5 2i C) 29 D) 25
7. z 23i kompleks songa qarama-qarshi son uchun quyidagilardan qaysi to‟g‟ri?

1. 
   0x o‟qiga nisbatan simmetrik
   
2. 
   0y o‟qiga nisbatan simmetrik
   
3. 
   koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik
   
4. 
   koordinatalar tekisligiga nisbatan simmetrik
   

8. z 34i songa qo‟shma kompleks son uchun quyidagilardan qaysi to‟g‟ri?

1. 
   0x o‟qiga nisbatan simmetrik
   
2. 
   0y o‟qiga nisbatan simmetrik
   
3. 
   koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik
   
4. 
   koordinatalar tekisligiga nisbatan simmetrik
   

2. Mavzu: Kompleks sonlar ustida asosiy amallar.
2.1. Kompleks sonlarni qo‟shish. Ikkita z₁=a₁+ib₁ va z₂=a₂+ib₂ kompleks sonlarning yig‟indisi deb z₁+ z₂=(a₁+ib₁)+( a₂+ib₂)=( a₁+ a₂)+i(b₁+b₂) (1) tenglik bilan aniqlanuvchi kompleks songa aytiladi. (1) formuladan vektor bilan tasvirlangan kompleks sonlarni qo‟shish-vektorlarni qo‟shish qoidasiga muvofiq bajarilishi kelib chiqadi. (5^b-chizma)

a) b)
5-chizma.
2.2 Kompleks sonlarni ayirish. Ikkita z₁=a₁+ib₁ va z₂=a₂+ib₂ kompleks sonlarning ayirmasi deb shunday kompleks songa aytiladiki, unga z₂ kompleks sonni
qo‟shganda z₁kompleks son hosil bo‟ladi (5^a-chizma).
z₁- z₂=(a₁+ib₁)-( a₂+ib₂)=( a₁- a₂)+i(b₁-b₂). (2)
Ikki kompleks son ayirmasining moduli shu sonlarni tekisligida tasvirlovchi А(a₁;b₁) va В(a₂;b₂) nuqtalar orasidagi masofaga teng:

| z₁  z₂ | (a₁ a₂)²  (b₁ b₂)² .
1-misol. z₁=3+2i va z₂=2-i kompleks sonlarning yig‟indisi va ayirmasini toping. Yechish. z₁+ z₂=(3+2i)+(2-i)=(3+2)+ i(2-1)=5+i, z₁- z₂=(3+2i)-(2-i)=(3-2)+i(2-(-1))=1+3i.
2.3. Kompleks sonlarni ko‟paytirish. z₁=a₁+ib₁ va z₂=a₂+ib₂ kompleks sonlarning ko‟paytmasi deb, i²=-1 ekanligini hisobga olib bu sonlarni ikki had sifatida ko‟paytirish qoidasi bo‟yicha ko‟paytirish natijasida hosil bo‟lgan
z₁·z₂=( a₁ a₂- b₁b₂)+i( a₁ b₂+ b₁a₂) (3) kompleks songa aytiladi.
z₁ va z₂ kompleks sonlar trigonometrik shaklda berilgan bo‟lsin: z₁=r₁(cos₁+isin₁), z₂=r₂(cos₂+isin₂).
Shu kompleks sonlarning ko‟paytmasini topamiz.
z₁·z₂=r₁(cos₁+isin₁)·r₂(cos₂+isin₂)=r₁·r₂[cos₁·cos₂+icos₁sin₂+isin₁∙cos₂
++isin₁·sin₂]=r₁·r₂[(cos₁·cos₂-sin₁sin₂)+i(cos₁· sin₂+ sin₁cos₂)]= =r₁·r₂[cos(₁+₂)+isin(₁+₂)].
Shunday qilib, z₁·z₂= r₁·r₂[cos(₁+₂)+isin(₁+₂)], (4) ya„ni ikkita kompleks sonlar ko‟paytirnilganda ularning modullari ko‟paytiriladi, argumentlari esa qo‟shiladi.
2-misol. z₁=3-i va z₂=3-i kompleks sonlarning ko‟paytmasi topilsin.
Yechish. z₁·z₂=(3-i)(4+2i)=12+6i-4i-2i²=14+2i.
3-misol.z₁  4^_cos¹¹ _isin¹¹ _^_ va z₂  3^_cos^ _i_sin^{ }_ kompleks sonlarning
 6 6   3 3 
ko‟paytmasi topilsin.
Yechish. (4) formulaga binoan:

z1z2  4cos11 6 isin 11 6 3cos 3 isin 3   43cos116 3  isin116 3  
     

 12cos2 6  isin26   12cos 6 isin 6   12 23 i 12   6 3  6i. 
4-misol. z=a+ib va z  a ib qo‟shma kompleks sonlar ko‟paytirilsin.
Yechish. z z  (a ib)(a ib)  a² (ib)²  a² b² yoki z z | z |², chunki
| z || z | a² b² .
Demak, qo‟shma kompleks sonlarni ko‟paytmasi haqiqiy son ekan.
2.4 Kompleks sonlarni bo‟lish. z₁=a₁+ib₁ sonning z₂=a₂+ib₂ (a₂² b₂²  0) kompleks soniga bo‟linmasi deb z₂ son bilan ko‟paytmasi z₁ ga teng z=х+iу
kompleks songa aytiladi. Demak z _ ^z1 va z₁  z_ z₂ tengliklar teng kuchli. z₂
Kompleks sonni kompleks songa bo‟lish amali bo‟linuvchi va bo‟luvchini bo‟luvchining qo‟shmasiga ko‟paytirish natimjasida amalga oshiriladi:

zz12  aa21 ibib12  (a1 ib1)(a2 ib2 )  a1a22 b12b2 i b1a22  ab122b2 .
(a2 ib2 )(a2 ib2 ) a2 b2 a2 
Agar kompleks sonlar z₁=r₁(cos₁+isin₁) va z₂=r₂(cos₂+isin₂) trigonometrik shaklda berilgan bo‟lsa, u holda:
z₁ r₁(cos₁  isin₁) r₁(cos₁  isin₁)(cos₂  isin₂)
  
z₂ r₂(cos₂  isin₂) r₂(cos₂  isin₂)(cos₂  isin₂)
 r1[(cos1cos2  sinr₂(cos1sin22)(ii(sinsin21)cos2) 2  sin2 cos1)] 
2
r1[cos(1 2)  isin(1 2)] r1 [cos(1 2)  isin(1 2)].
 r₂(cos2 sin22)  r2
2 
Shunday qilib, ^z1  ^r1 [cos(₁ ₂ ) isin(₁ ₂ )], (5)
z2 r2
ya„ni ikkita trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni bo‟lishda bo‟linuvchining moduli bo‟luvchining moduliga bo‟linadi, bo‟linuvchining argumentidan bo‟linuvchining argumenti ayriladi.

5-misol. z₁=3-2i kompleks son z₂=4+i songa bo‟linsin. Yechish. zz_{1 } 34 2ii _ ((34 2ii)()(44 ii)) _ 3 4  242i(2124  31) _ 10 17i11 _ 1710 _ 1711i.
2 _{   }
6-misol. z₁  4^_cos ^3_isin ^3_ kompleks son z₂  2^_cos^ _i_sin^ _^ songa bo‟linsin.
 4 4   4 4 

Yechish. (5) formulaga binoan: zz1  42 сos3  isin3   2cos2 isin2   2(0 i)  2i.

2   4 4   4 4  
Yuqoridagilardan kelib chiqib quyidagicha xulosa qilishimiz mumkin.
Kompleks sonlarni qo‟shish va ayirishda ularning algebraic shakldagi, yozuvdagi (1),

2. 
   formulalardan, ko‟paytirish va bo‟lishda trigonometric shakldagi (4) va (5) formulalardan foydalanish maqsadga muvofiq.
   

2.5. Kompleks sonni darajaga ko‟tarish. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko‟paytirish qoidasini ya‟ni (4) formulani kompleks sonlar bir nechta umumiy holda n ta bo‟lganda ham umumlashtirish mumkin, ya‟ni z₁=r₁(cos₁+isin₁),
z₂=r₂(cos₂+isin₂),
………………………….
z_n=r_n(cos_n+isin_n)
sonlarning ko‟paytmasi
z₁ · z₂… z_n=r₁·r₂… ·r_n[ cos(₁+₂+…+_n)+isin(₁+₂+…+_n)] formula orqali topiladi. Bu formuladan kompleks sonlar o‟zaro teng z₁= z₂=… z_п=z=r(cos_+ isin_) bo‟lganda zⁿ=[r(cos_+isin_)]ⁿ=rⁿ(cosn_+sinn_) (6)
formulaga ega bo‟lamiz.
Bu formula Muavr formulasi deb ataladi. Bu formula kompleks sonni biror natural darajaga ko‟tarish uchun uning modulini shu darajaga ko‟tarish lozimligini, argumentini esa daraja ko‟rsatgichiga ko‟paytirish kerakligini ko‟rsatadi. 7-misol. (1+i)²⁰ ni hisoblang.
Yechish. |z|= r= 1² 1²  2  _arctg ¹ _^ bo‟lgani uchun
1 4

1+i= z= 2^_cos^ isin^{ }_ bo‟lib (6) formulaga binoan
 4 4 
20
z20=(1+i)20=  2cos4 isin 4   220cos20 4 isin20 4  
=2¹⁰cos5isin51024(cosisin)  1024.
Muavr formulasida r=1 deb olinsa (cos_+isin_)ⁿ= cosп_+isinп_ (7) formula kelib chiqadi. Bu formula cosп_, sinп_ funksiyalarni cos_, sin_ funksiyalarning darajalari orqali ifodalash imkonini beradi.
Masalan, n=2 da (cos_+isin_)²= cos2_+isin2_ ga ega bo‟lamiz, bundan:
cos²_+2i cos_ sin_+i² sin²_=cos2_+isin2_, cos²_- sin²_ +2i sin_cos_=cos2_+isin2_.
Ikki kompleks sonlarni tengligi shartidan foydalansak cos2_=cos²_- sin ²_ , sin2_=2sin·cos_ ma„lum formulalarga ega bo‟lamiz.
Shuningdek n=3 da (7) formula (cos_+isin_)³=cos3_+isin3_ ko‟rinishga ega bo‟lib, bundan:
cos³+3·cos²·i sin_+3cos_(isin_)²+(isin_)³=cos3_+isin3_, (cos³_-3·cos· sin²_)+ i(3cos²_sin_-sin³_)=cos3_+isin3_.
Ikki kompleks sonlarni tengligi shartiga asoslanib cos3_= cos³_- 3cos· sin²_, sin3_=3 cos²_sin_-sin³_
formulalarni hosil qilamiz. n=4 ga (7) formula (cos_+ isin_)⁴=cos4 _+ isin4_. ko‟rinishga ega bo‟ladi.
Chap tomonni 4 darajaga ko‟taramiz.
(cos_+ isin_)⁴=[(cos_+isin_)²] ²=[cos2_+isin2_]=cos²2_-sin²2_+2 isin2_ cos2_=
(cos²2_-sin²2_)²-(2sin_ cos_)²+2i*2sin_ cos_( cos²_-sin²_)= cos⁴_ +sin⁴_-6 sin²_ cos²_+4i(sin_cos³_-sin³_cos_)
Bu formulani (7) formulani n=4 dagi qiymatini o‟ng tomoniga tenglab cos⁴_+sin⁴_-6 sin²_ cos²_+4i(sin_cos³_-sin³_cos_)=cos4_+isin4_ ga ega bo‟lamiz. Ikki kompleks sonni tengligi shartiga asoslanib, cos4_= cos⁴_ +sin⁴_-6 sin²_ cos²_ sin4_=4(sin_cos³_-sin³_cos_)
Formulalarni hosil qilamiz. Xuddi shu tarzda (7) formuladan foydalanib, _ ga karrali burchaklarni sinus va cosinus larni _ ga bog‟liq formulalarini keltirib chiqarish mumkin.