Mavzu: L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari fazoda yaqinlashish turlari. Reja


Download 96.97 Kb.
bet1/6
Sana05.01.2022
Hajmi96.97 Kb.
#228299
  1   2   3   4   5   6
Bog'liq
L2 fazo


Mavzu:L2 fazo ta’rifi va asosiy xossalari. fazoda yaqinlashish turlari.

Reja:

  1. fazoning ta’rifi.

  2. fazoning asosiy xossalari.

  3. fazoda yaqinlashish turlari va ular orasidagi munosabatlar.

Aytaylik X o‘lchovli to‘plam va  undagi o‘lchov va (X)< bo‘lsin. Funksiya berilgan deganda, X da aniqlangan o‘lchovli funksiyalarni tushunamiz.



1-ta’rif. Agar X da berilgan f(x) funksiya uchun

< 

bo‘lsa, u holda f(x) funksiya kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya deyiladi.

Kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to‘plamini (sinfini) L2(X, ) orqali belgilaymiz.

1-teorema. L2(X, ) to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi.

Isboti. Aytaylik f(x), g(x)  L2(X, ) bo‘lsin. U holda

(f(x) + g(x))2  2(f2(x)+g2(x))



tengsizlikdan

(f(x) + g(x))2  2( +) < 

kelib chiqadi, ya’ni f(x)+g(x)  L2(X, ).



Xuddi shuningdek, ixtiyoriy  son uchun

=2 < 

munosabatdan f(x)  L2(X, ) kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

Endi, L2(X,) da masofa tushunchasini aniqlaymiz.

Dastlab, kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar integraliga aloqador va kelgusi xulosalarda ishlatiladigan, ba’zi tengsizliklarni ko‘rib chiqamiz.


2-teorema. Ixtiyoriy f(x), g(x)  L2(X, ) funksiyalar uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladigan

 (3)

tengsizlik va



 + (4)

tengsizlik o‘rinli.



Isboti. Ixtiyoriy  soni uchun bo‘lishi ravshan. Bundan +2+20 kelib chiqadi. Ma’lumki,  ga nisbatan a2+2b+c kvadrat uchhad qiymatlari musbat bo‘lishi uchun uning diskriminanti manfiy bo‘lishi kerak: D=4b2 – 4ac  0. Demak, b2ac. Yuqoridagi tengsizlikda =s, =b, =a ekanini e’tiborga olsak (3) tengsizlik hosil bo‘ladi.

Endi, (4) tengsizlikni isbotlash qiyinchilik tuQdirmaydi:



=+2+

+2+=

=.

Teorema isbot bo‘ldi.



Agar (3) tengsizlikda g(x)  1 deb olsak

 (X) (5)

munosabatga ega bo‘lamiz.




Download 96.97 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling